冷原子测温：先读飞行，再推断温度

探测器先看见到达

Lett 团队在 1988 年把钠原子从光学黏胶中释放，比较飞行时间、向上喷泉、横向落雨和释放后再俘获四种温度计。不同方法支持低于简单多普勒预言的温度，但它们分别采样释放云团的不同方面。

飞行时间方法记录原子穿过下方探测光束时的荧光。因此，到达时刻同时取决于源与探测区的距离、初始位置、速度以及重力。峰出现得晚，需要结合这套几何来解释，不能直接把时间刻度叫作温度刻度。

以水平方向的教学测量为例，位置和速度均指释放瞬间沿同一轴的量，标准差描述相对运动中心的分散。无外力弹道运动的位置，等于初始位置再加上初始速度与时间的乘积，对它取方差便得到下式。

协方差项表示初始位置与速度的相关。均匀重力会移动竖直方向的质心，却不改变这条中心方差恒等式；存在力梯度时则不同。只有速度分布具备相应热解释，才可以借原子质量与玻尔兹曼常数，把速度方差换成方向动理学温度。

\sigma_x^2(t)=\sigma_{x,0}^2+2t\,\operatorname{Cov}(x_0,v_0)+t^2\sigma_{v,0}^2

取一个没有位置速度相关的虚拟云团：初始均方根宽度为 0.50 毫米，速度标准差为每秒 0.10 米。飞行 10 毫秒后宽约 1.12 毫米，20 毫秒后约 2.06 毫米。这些数是标准差，不是半高全宽。

把钠原子质量近似为 23 个原子质量单位，选定速度分散对应约 27.7 微开尔文。从两张图像的宽度平方差恢复速度方差，会得到同一结果。直接把任一图像宽度除以飞行时间，则会把初始云团已有的尺寸也算进速度，造成高估。

设想原子在释放时朝云团中心运动，位置与速度的协方差便为负。即使每个原子的水平速度始终不变，云团仍会先收缩再膨胀。焦点附近的一张图像会显得格外紧凑，却没有证明动能减少。

多个飞行时刻有助于区分宽度平方中的常数项、一次项和二次项。把协方差设为零能减少拟合参数，也同时加入了制备假设。若采样时刻和不确定度不足以看出被忽略的一次项，残差小便不能检验这个假设。

有限大小的探测光束或相机视场可能漏掉最快的原子，此时测得宽度只描述被接收的子样本。在把像素宽度换成速度分布以前，还要说明背景扣除、空间放大率和光学响应。

原实验比较互补几何，并在分析中计入初始分布与重力。阅读时可以逐项寻找：直接记录的信号是什么，哪些未观察坐标被积分掉，哪些参数来自另外的测量。即使信号不同，温度计仍可能共用标定假设。

现有冷却 Lab 可在声明的力模型中比较阻尼、扩散与俘获；它没有采集四套历史测温记录，其温度读数也不能作为独立实验标定。

接下来应追问，变化究竟发生在速度分散、云团中心、被接收的原子群，还是温度计模型。配套的西西弗斯文章再讨论，二能级多普勒模型遗漏了哪种内部态冷却机制。