先把 1988 年论文的四种温度计放在一起
打开 Lett 等人发表于 1988 年七月的论文《观察到低于多普勒极限的激光冷却原子》。它要解决的是：原子离开冷却光以后，怎样从运动推回温度。把飞行时间、向上抛出的原子喷泉、侧向飞散的原子“淋浴”，以及释放后重新捕获这四种方法一起读。每种方法都先放开原子，再观察它们去了哪里。
论文报告的最低温度为 43 微开尔文，不确定度为 20 微开尔文，明显低于简单理论预期的 240 微开尔文。理解这个意外结果，可以从每把温度计的几何开始：在纸上画出初始云团、探测区域和重力方向，再看它记录的信号。
证据阅读：P. D. Lett et al. (1988), Observation of Atoms Laser Cooled below the Doppler Limit, PRL 61, 169–172
先问到达时间由什么决定
飞行时间法把探测光放在原子云下方。原子落进光束，就发出荧光。曲线的横轴是时间，亮度反映这一时刻有多少原子到达探测区。峰的位置和宽度，都受释放高度、云团厚度、初始速度和重力影响。
先算一个没有初速度的原子何时到达。其他原子若向下飞得更快，会提前；向上飞，可能晚到；起点较低，也会提前。把这些因素放进同一个运动模型，宽窄不同的到达峰才有了温度含义。喷泉和侧向飞散的安排，换了更适合观察某部分运动的方向。
证据阅读：P. D. Lett et al. (1988), Observation of Atoms Laser Cooled below the Doppler Limit, PRL 61, 169–172
拍云团时，测的是围绕中心的宽度
想看清计算，可以另取一个教学用的横向成像情形：释放以后，水平方向没有力。先找出每帧云团的中心，再测原子围绕中心散得多宽。整团一起漂移，只移动中心；原子之间速度不同，才会让云团逐渐变宽。这里的宽度取标准差，用米表示，时间用秒表示。
下式把宽度平方分成三项：释放时已有的大小、随时间一次变化的项，以及随时间平方变化的项。下标零表示释放瞬间。协方差描述位置与速度的关联：靠右的原子，是更常向右走，还是往中心走？它的单位是平方米每秒。速度方差的单位是平方米每二次方秒；若速度分布符合热平衡，把它乘以原子质量、除以玻尔兹曼常数，就得到这个方向的温度。
证据阅读：P. D. Lett et al. (1988), Observation of Atoms Laser Cooled below the Doppler Limit, PRL 61, 169–172
保留初始大小，再算一次
设一个虚构云团：初始宽度为 0.50 毫米，速度标准差为每秒 0.10 米，初始位置和速度互不相关。飞行 10 毫秒，宽度约为 1.12 毫米；飞行 20 毫秒，约为 2.06 毫米。这里都是标准差，换成半高全宽会是另一组数。
取钠原子约二十三个原子质量单位，这个速度分散相当于约 27.7 微开尔文。两次宽度的平方相减，再除以两次飞行时间平方之差，就能找回设定的速度方差。若把一张照片的宽度直接除以飞行时间，结果会偏大：原子还没飞，云团就已经有大小。
证据阅读：P. D. Lett et al. (1988), Observation of Atoms Laser Cooled below the Doppler Limit, PRL 61, 169–172
多拍几个时刻，才能发现云团聚过焦
假如原子释放时都朝云团中心运动，云团会先缩小，经过一个最窄的位置，再展开。整个过程中，每个原子的水平速度都没变。这样的制备让位置和速度负相关；在焦点附近拍到的小云团，仍可带着相当大的杂乱动能。
在几个不同的飞行时刻拍照，才有机会分别拟合常数项、一次项和二次项。把一次项固定成零，等于对制备过程加了一个假设。均匀重力会移动竖直中心，而不会单独改变围绕中心的宽度；力若随位置变化，就要重新处理云团的运动。
证据阅读：P. D. Lett et al. (1988), Observation of Atoms Laser Cooled below the Doppler Limit, PRL 61, 169–172
最后检查，有哪些原子没被看见
探测光或相机的范围有限，飞得最快的尾部可能已经跑出去。只测留下的原子，分布就会显得偏窄。还要检查背景扣除、成像倍率和光学模糊：相机里的一个像素究竟对应多长，光点又被镜头抹宽了多少？几把温度计采用不同几何，才更容易找出单一安排会漏掉的影响。
读下一份测温记录时，可以依次记下实际信号、释放大小、飞行中的力、探测范围和独立标定，再标出拟合里哪一项管随机运动、哪一项管中心漂移。若云团尚未热平衡，一个方向的动能方差本身就有明确含义；把整团概括为同一个平衡温度，还需要更多依据。
证据阅读：P. D. Lett et al. (1988), Observation of Atoms Laser Cooled below the Doppler Limit, PRL 61, 169–172J. Dalibard and C. Cohen-Tannoudji, Laser cooling and trapping of neutral atoms — author-hosted review, Sections 3–5