怎样读懂喷泉原子钟里的腔相位误差

从原子两次穿过腔体看起

把 Weyers 等人的作者稿 arXiv:1110.2590v1 放在旁边，先读引言和腔体描述，再看图一到图三。顺着这个次序，可以看清 PTB-CSF2 喷泉钟怎样把微波场的空间相位变化，追到最后的频率修正。

原子先向上穿过微波腔，受重力减速、下落，再穿过同一个腔体。两次作用是在比较原子的节奏和微波的节奏。相位说的是一个周期走到了哪里：两个振荡频率完全相同，也可以一个稍微领先，一个稍微落后。

两次共用一个腔体，避免了束流钟两个分离作用区之间的一种相位不一致。但上升和下降的原子，可能经过腔内不同位置。如果某处的微波节奏略微领先，第二次经过时，这个差别就会加进测量。

先取理想的 Ramsey 条纹：脉冲瞬时作用，中央是一个极大值。下式的激发概率由条纹对比度、外加频率与原子频率之差、两次脉冲间隔和附加相位共同决定。两种频率用赫兹，间隔用秒，附加相位用弧度；附加相位按正号放进余弦。

时钟锁定跟随中央极大值。多加一点正相位后，要让余弦回到极大值，外加频率就得往下调，得到第二行的负号。把相位差反过来定义，最后的符号也要反过来。

举个教学算例：半秒的间隔里多出一毫弧度，相应频移约为负 0.318 毫赫兹。反复测量会减小这个偏移附近的随机散布。附加相位固定时，等待加倍，它造成的频移就减半；调整发射条件可能同时改变原子采样到的相位，做这种比较时要检查这一点。

\begin{aligned}P_e&=\frac{1+C\cos[2\pi(\nu-\nu_0)T+\Delta\phi]}{2}\\\nu_{\rm lock}-\nu_0&=-\frac{\Delta\phi}{2\pi T}\end{aligned}

图一的横轴是微波幅度，纵轴是跃迁概率，测量点与模型曲线帮助确定工作幅度。图二进一步检验随幅度变化的相位效应：实心圆是测量，实线是计算，灰带表示改变假定云团大小时的计算范围。点上的统计误差棒和灰带，各自回答不同问题。

一团原子会走过许多轨迹。孔径挡掉一部分，探测器又给留下来的原子不同权重。预测实测条纹时，要把这些带权重的信号贡献合起来；直接平均每个原子遇到的相位角，可能算错。

可以做一个小算例：四份信号对比度相同，其中三份相位为零，一份领先四分之一周。把它们当向量相加，合成相角约为 0.322 弧度；直接平均四个角度，却得到约 0.393 弧度。这个人为构造的例子说明平均的方法。真实腔体中，脉冲持续一段时间，还会给轨迹上不同位置的场再加一层作用权重。

图三沿两个方向改变喷泉倾角。横轴是人为改变的轨迹条件，拟合斜率给出频率对此怎样响应。接着看不确定度表，各种空间贡献分别进入最后的修正值和不确定度。

用一个简单算例检查这套逻辑：某项效应反转前为正十微赫兹，反转后为负十微赫兹，另外始终有正二微赫兹的共同偏移。两次平均，会抵消反号的部分，共同偏移仍在。反转实验约束的是随操作反号的那部分，其余贡献还要靠场和轨迹的信息确定。

以后读另一篇腔相位分析，可以依次记下：两次原子路径是什么，改变哪项条件并测到怎样的响应，场计算怎样计入探测权重，最后的修正附带多大不确定度。修正值与条纹中心数得多精细，要分别看。