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Sandbox Physics

Q020 · 相位积累与频谱

Ramsey 测频与原子钟

多等一会儿，能否分辨更小的频差？ 能。暗间隔越长，同样的频差攒下的相位越多，条纹越窄，灵敏度越高：等待加倍，条纹间距减半。代价是无歧义的频率范围变小，退相干还会让条纹对比度变差。

采集 Ramsey 频谱和相位计数，再换用不同的暗时间和有效密度，并把腔相位正反各测一次，检验原子钟修正。用记录下的原子推出零密度频率，再看周期歧义、对比度太弱、密度标定出错和非线性碰撞律会不会把结果带偏。

交互模型Ramsey 测频与原子钟
模型正结果概率—\text{—}
正结果 / 负结果 / 拦截—\text{—}
当前设置测量次数—\text{—}
采集的正结果比例—\text{—}
95% Wilson 区间—\text{—}
输出态纯度—\text{—}
模型条纹间距—\text{—}

模拟采集

先预测，再采集证据。

尚未采集记录。

从采集计数推断

采集一次扫描后，才能估计信号。

—\text{—}
密度矩阵与计数约定
ρ=I+r⋅σ2\rho=\frac{I+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\sigma}{2}

最近的原始事件 · 完整记录见 CSV
事件设置结果

科学依据： Feynman III.6 · MIT 8.05 · NIST Ramsey

Q020 · 计数记录与系统频移

条纹再窄，测出的频率也可能有偏差。

在不同暗时间、有效密度和可反转相位的两种设置下，分别采集独立的相位扫描。拟合只用计数、扫描坐标和给定的标定。

这是另一套秒量级的流程。上方的态空间回放仍是原来的毫秒量级实验。这里不模拟腔的几何、喷泉轨迹和原子钟伺服。

生成器与独立标定设置

生成器设置决定之后产生的模拟记录；标定和搜索范围是分析时的假设。改动任何一项都会开始新样本。中间档有效密度取低档和高档的中点；探测到的原子数不能用来标定这个比值。

尚无协议记录。

零密度偏差 · 仅计数

—\text{—}

计数标准不确定度

—\text{—}

独立密度标定不确定度

—\text{—}

实测密度斜率

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偶腔相位 · 联合分支

—\text{—}

可反转相位 · 模半周

—\text{—}

要做修正，需要完整的计数，并且足以唯一确定各个拟合参数。

最近完成的相位扫描：激发比例及 95% Wilson 区间；连线只连接采集值。
先由相位随时间推断频率，再做密度外推。误差棒是计数标准不确定度；零密度点属于外推。
相位记录与保留原子
密度时间 / s反转相位估计 / rad对比度

最近几档设置：每个原子无论处在激发态还是基态，都计入该档的分母。完整的有序事件见 CSV。

档位激发基态总数
单独列出的生成器参考与模型局限
δf0=0.18 Hz\delta f_0=0.18\,\mathrm{Hz}

偶相位在不同暗时间下保持不变，奇相位在反转时严格变号。这是模型的简化假设。真实的分布腔相位频移取决于场、原子轨迹和探测权重，简单反转消不掉全部分量。密度比要靠独立的制备标定，并假定碰撞系数相同；比值错了，即使数据完全线性，拟合结果也会有偏。

搜索区间限定了包括密度频移在内的总原子失谐，这是外加的先验，不是数据给出的证明。可反转相位取折叠后相位差的一半，模半周；偶相位在这一奇相位主分支下取模整周。两个相位同时加半周，两种反转下的响应都不变，这个联合歧义无法分辨。选分支时不使用真实相位标签。计数不确定度用大样本 delta 近似，并假定原子相互独立；标定误差单独按一阶计入。本振噪声、有限脉冲灵敏度、漂移和长期 Allan 稳定度都没有模拟。

方程与一手来源
Pe=12[1+C(T)cos⁡(Φ−φ)]P_e=\tfrac12[1+C(T)\cos(\Phi-\varphi)]
Φ=2π(δf0+kn+qn2)T+ϕe+sϕo\Phi=2\pi(\delta f_0+kn+qn^2)T+\phi_{\rm e}+s\phi_{\rm o}
C(T)=0.9e−T/T2,s∈{−1,+1}C(T)=0.9e^{-T/T_2},\quad s\in\{-1,+1\}
ν0=νL−rνH1−r\nu_0=\frac{\nu_{\rm L}-r\nu_{\rm H}}{1-r}

最后一式是只用两档密度时的线性极限；这里拟合三档密度并检查残差。线宽、计数误差、系统偏差和长期稳定度是彼此不同的量。

Weyers et al. 2011 · Hoth et al. 2022 / NIST · Pereira Dos Santos et al. 2002

物理教程

等待时间与相干之间的权衡

背景第一个脉冲建立横向相干，暗时间里相位慢慢积累，第二个脉冲再把相位变成占据率。

为什么值得理解精密频谱测量靠的是 Ramsey 方法。可是对比度、周期歧义和系统频移，决定了有限的数据能说明多少问题。

先抓重点

核心问题
暗时间加倍，测频一定更好吗？
一句话直觉
暗时间越长，条纹越密，相位越灵敏；可是能无歧义分辨的频率范围变窄，对比度也跟着下降。

核心数学模型

暗时间里积累的相位

Φ=2π δf T\Phi=2\pi\,\delta f\,T

相位与频差成正比，也与暗时间成正比。

理想半翻转脉冲下的 Ramsey 条纹

Pe=12[1+e−T/T2cos⁡(Φ−φ2)]P_e=\tfrac12[1+e^{-T/T_2}\cos(\Phi-\varphi_2)]

半翻转脉冲瞬时完成、只有纯退相干时，激发态占据率随累积相位振荡；暗时间越长，条纹对比度越低。

同一个相位对应许多频差

δf=Φ+2πk2πT,k∈Z\delta f=\frac{\Phi+2\pi k}{2\pi T},\quad k\in\mathbb Z

测到一个相位，频差还可以再加上暗时间倒数的任意整数倍。

常见难点

线宽不是准确度

容易误解模拟出的条纹很窄，就说明原子钟很准。

正确理解原来的相位扫描不含系统频移。单独的原子钟协议给定了腔相位和密度频移，但没有模拟本振噪声和长期漂移。这种有前提的计数修正，不能当作准确度或稳定度的认证。

长等待会带来周期歧义

容易误解主区间里的那个估计就是唯一可能的频差。

正确理解频差加上暗时间倒数的任意整数倍，相位都一样。要分辨，得再用一个独立的询问时长，或者事先给定频差范围。

动手实验

  1. 01

    采集两种扫描

    选择灵敏斜率并采集扫描，比较频谱与相位扫描。

    你会看到： 频谱按已知的扫描频差画出；频率估计只用相位计数的第一谐波。
  2. 02

    延长暗时间

    加倍暗时间后重新采集。

    你会看到： 条纹间距减半；频率估计改以新的暗时间倒数为周期。
  3. 03

    对比度太弱时

    选择对比度消失并采集扫描，然后增加样本，或者缩短等待。

    你会看到： 对比度分辨不出来时，不给出频差。多采样本能压低投影噪声，却补不回已经丢掉的相干。
  4. 04

    改变工作点

    改变第二脉冲相位及面积误差，并回放序列。

    你会看到： 第二个脉冲改读另一个相位分量。脉冲误差会改变演化结果的对比度和基线。
  5. 05

    分离相位与频率

    在秒尺度原子钟面板选择腔相位偏差，采集完整协议。

    你会看到： 反转腔相位，相位截距跟着变。频率来自计数相位随三个暗时间变化的斜率；估计时不读取生成数据用的偏差。
  6. 06

    检验密度修正

    比较错误标定、密度非线性与单暗时间预设。

    你会看到： 密度比值标错时，拟合看上去仍是直线，结果却有偏。出现曲率、周期歧义分不开，或暗时间设计不够时，就不给出零密度修正。

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