Born：散射方向怎样成为概率

波会散开，探测却落在一点

把同一种碰撞重复很多次：让电子束射向靶，再按方向统计出射粒子。波动计算给出一片散开的图样；实验给出的则是一个个局域的探测事件，多次重复后才积累起来。两者之间还需要一条规则来连接。

束缚态能量本身给不出这条规则。氢光谱算对了，波函数代表什么仍可能悬而未决。Born 在 1926 年的碰撞研究中，借散射和靶的激发，追问数学振幅能对不同的物理结果预言什么。

对归一化的纯态，在一组正交归一基上作理想测量，下面的现代写法给出每个结果的概率。左矢标记结果，右矢标记制备态，求和遍及完整的结果集。复振幅本身不是计数。

这种紧凑写法比 1926 年论文的语言更一般，也更规范。在散射实验里，要把出射波换成计数率，还得计入入射流、出射流和探测器的接收范围。不同非弹性通道的出射速度可能不同，直接把某个系数平方，会漏掉这层权重。

p_n=\left|\langle n\mid\psi\rangle\right|^2,\qquad \sum_n p_n=1

电子可以朝某个角度飞出而靶不变，也可以让靶获得一份允许的激发能后飞出。出射方向和靶的末态合起来，标记一个通道。能量守恒限定哪些通道开放，却不决定某一次碰撞的结果。

这样，电子碰撞实验中的离散能量损失，就和各结果出现的相对频率接上了。Franck–Hertz 的激发阈值证据，和 Born 对通道振幅的解释，是前后衔接的两步，不是同一个实验的两个名字。

如果两个不可区分的过程相干地通向同一个记录结果，就要先把振幅合起来，再求概率。换成普通的混合，预言一般就变了。即使探测器最后只报告一个个事件，统计里仍保留着相对相位的信息。

所以，有用的比较要固定制备，只改变这些过程是保持相干还是变得可区分。光看到平滑的直方图还不够，经典波和经典随机过程也能给出平滑分布。起区分作用的是受控比较。

Born 近似是在适当条件下估算散射振幅的方法；Born 规则说的是振幅怎样对应到结果。第一阶近似失败了，说明散射要算得更好，并不说明概率规则错了。

同样，反复运行一个写好了这条规则的随机采样器，只能展示规则的统计后果，不能算是从实验中独立推出了规则。真正检验预言，还要考虑背景计数、效率、制备漂移，以及有限样本频率的不确定度。

量子位 Lab 展示结果怎样依赖测量基；分波 Lab 在中心势模型中展示角分布。两者都不是 Born 的历史碰撞装置，它们预设的态和测量方式，本身就是所探索模型的一部分。

结果统计吻合，检验的是理论的预言，但它本身不能裁定关于波函数的所有哲学问题，也不解释每一个事件的来历。把这项预言上的成就放在眼前，最能看清 Born 的历史贡献。