Q016 · 相移、角分布与截面

三维分波散射

圆形靶，为什么散射分布有这么多谷？ 各分波在互相干涉。每个分波带着自己的相移，复振幅先相加再取模平方，有的角度互相加强，有的角度互相抵消，谷就出来了。总截面是另一回事，它是把所有角度合在一起的一个数。

让一束单能粒子射向中心势。移动环形探测器，数散射过来的粒子，分清哪些是角分布里的干涉，哪些是总散射强度的变化。

已记录结果 $\text{—}$

孔径平均截面 $\text{—}$

01 / 选定要检验的问题

移动探测器，寻找计数谷。

提高束能，再扫描一次。探测器加宽后，哪些谷会消失？

束流向右；示意比例；方向线不表示轨迹。

探测器极角

\theta/\mathrm{deg}

60

每个角度点是一次独立曝光，计数为零的结果也算在内。

做一组对照

入射能量

E/\mathrm{eV}

1.5

势阱半径

a/\mathrm{nm}

0.55

吸引势深

V_0/\mathrm{eV}

4

中心势

探测与采样

改变制备会清空当前数据。移动探测器只选择测量角度，已有扫描会保留。

探测器半角宽度

\beta/\mathrm{deg}

5

每次曝光入射面通量

\mathcal F/\mathrm{nm}^{-2}

100

采样种子

s_0

137

改变制备前，先保存样本。

模型假设

入射粒子取电子质量，做非相对论弹性散射；靶是吸引型球形方势阱或硬球。每次曝光是独立的 Poisson 计数，入射面通量均匀，环形探测器是理想的。不含 Coulomb 长程尾、靶反冲、吸收和多次散射，也没有标定过的材料势。

模拟探测器曝光

数一数探测器真正接收到什么。

$\theta/\mathrm{deg},\quad \overline{d\sigma/d\Omega}\,/\,(\mathrm{nm^2/sr})$ · 蓝：当前扫描；橙：已存对照。拖动选择角度。

显示模型预测

\text{—}

计数与不确定度

每一格是一次模拟曝光，颜色越深计数越多。橙线显示当前扫描以外最近保存的一组样本。误差线是近似的百分之九十五 Poisson score 区间；探测器给出的是整个极角带上的平均值。

概率流守恒

每条分波都落在同一个圆上。

$\operatorname{Re}t_l,\quad\operatorname{Im}t_l$ · 金色：分截面最大；青色：其余分波。

改变能量，跟着金色点绕圆周走。

1

概率流怎样变成一个圆

\begin{gathered}S_l=e^{2i\delta_l}=1+2it_l\\t_l=e^{i\delta_l}\sin\delta_l\\(\operatorname{Re}t_l)^2+\left(\operatorname{Im}t_l-\tfrac12\right)^2=\tfrac14\end{gathered}

实数势把入射通量全部送回弹性通道。改变能量，每条分波的振幅沿圆周移动。圆顶对应这个能量下允许的最大分截面。

这里算的是非相对论势散射。相对论分波在吸收相空间归一化后，也满足同样的无量纲圆关系。

从概率流继续学散射振幅

分截面、角度干涉与保存样本

03 / 把形状与结果联系起来

不同分波带着不同的相位。

$l,\quad \sigma_l/\mathrm{nm^2}$ · 这个分解来自模型，并没有单独测量每条分波。

\text{—}

最后三条分波用来估计尾项的贡献；科学测试中还会再加八条分波，检查结果是否收敛。

模型视图，与计数数据分开

干涉改变了角分布。

$\theta/\mathrm{deg},\quad |f(\theta)|^2/\mathrm{nm^2}$ · 实线为相干求和；虚线丢弃交叉项后分别取模平方求和。虚线只是诊断，不代表另一个物理散射模型。

\text{—}

$r/\mathrm{nm},\quad E/\mathrm{eV}$

04 / 留下证据

把设置和记录一起保存。

最多保存八组固定样本，恢复后可以查看当时的设置。保存之后再采集会新建一组样本。CSV 同时保留零结果和成功探测。

模型边界、单位与来源

势为实数、有限程的中心势，散射粒子取电子质量，只考虑弹性散射。入射平面波沿水平正方向传播。环形探测器接收所有方位角；极角方向上，两端各留两度的束流通孔不计入。半径和深度定义的是一个假想靶，不对应具体材料。靶和探测器按示意比例绘制，方向线不表示轨迹。硬球选项把内部换成边界上波函数为零的条件。

分波截断随入射动量和势程增大。探测器积分用 Gaussian 求积，各角度的独立曝光服从 Poisson 计数。画面最多显示最后一次曝光中按条件采样的一百二十八个到达点；CSV 保留每次曝光的完整计数和面通量。不包括靶反冲、吸收、非弹性通道、多次散射和 Coulomb 长程尾。

Fitzpatrick · Partial waves · Phase shifts · Resonant scattering

先抓重点

核心问题: 圆形靶，为什么散射分布有这么多谷？
一句话直觉: 先把各分波的复振幅加起来，再取模的平方，所以每个角度留下的干涉项都不一样。

核心数学模型

分波叠加的散射振幅

f(\theta)=\frac1k\sum_{l=0}^{l_{\max}}(2l+1)e^{i\delta_l}\sin\delta_l P_l(\cos\theta)

极角从入射方向，也就是正水平轴算起；装置图里的水平轴就是束流轴。

有限孔径探测器的计数

\langle N\rangle=\mathcal F\int_{\Delta\Omega}|f(\theta)|^2\,d\Omega

环形探测器收下所有方位角、一段有限极角内的粒子。计数除以面通量和立体角，得到的是这段角度内的平均值，不是某一个角度上的值。

用几种方法独立计算总截面

\sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l=\frac{4\pi}{k}\operatorname{Im} f(0)

实数势只发生弹性散射，通量守恒；所以对角度积分、用光学定理算出的结果，都必须和分波求和一致。

常见难点

示意图不是轨迹

容易误解出射方向线就是算出来的经典轨道。

正确理解方向线只是把散射中心和探测器接收的角度连起来。计数由复数波振幅决定，和经典路径无关。

模型没有包括什么

容易误解数值检查通过了，就等于复现了真实仪器。

正确理解入射粒子取电子质量，做非相对论弹性散射；靶是吸引型球形方势阱或硬球。每次曝光是独立的 Poisson 计数，入射面通量均匀，环形探测器是理想的。不含 Coulomb 长程尾、靶反冲、吸收和多次散射，也没有标定过的材料势。

动手实验