散射振幅怎样变成探测器上的计数

先数穿过一小块面积的粒子

一束粒子照向很小的靶。把一个探测器放在远处，再把它转向另一边，每秒计数通常会改变。角分布就是我们要解释的现象。要比较不同实验，先除去束流强弱、靶粒子数和探测器张开的角度。

在本章的非相对论单粒子模型中，入射沿正 $z$ 方向，波数为 $k$ ，粒子质量为 $M$ 。远离短程中心势，波函数由入射平面波和出射球面波相加。球面波振幅 $f(\vartheta)$ 的量纲是长度； $\vartheta$ 是相对入射方向的散射角。

\psi(\mathbf r)\simeq e^{ikz}+f(\vartheta)\frac{e^{ikr}}{r}

球面越大，单位面积分到的出射概率越少；振幅按距离的倒数衰减，概率按距离平方的倒数衰减。

面积从概率流里出来

概率流是单位时间穿过单位面积的概率。对入射平面波，它等于粒子速度乘概率密度。对远处的球面波，只保留随距离衰减最慢的径向项，便得到下面的出射流。

半径 $r$ 上一块面积 $dA$ 张开的立体角为 $d\Omega=dA/r^2$ 。用穿过这块面积的出射流除以入射流，距离恰好消掉。剩下的面积就是微分截面。固定靶、弹性散射以及相同的入射和出射速度是这一步的假设。

\mathbf j=\frac{\hbar}{M}\operatorname{Im}(\psi^*\nabla\psi),\qquad j_{\rm in}=\frac{\hbar k}{M},\qquad j_{\rm out}=\frac{\hbar k}{M}\frac{|f(\vartheta)|^2}{r^2}

入射波的振幅取一；这里只写远场球面波的径向通量。

\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{j_{\rm out}r^2}{j_{\rm in}}=|f(\vartheta)|^2

截面不是靶的几何轮廓。它把指定方向的散射概率换算成有效面积。

来源：David Tong

两条路径可以让一个方向变暗

设粒子可沿两条无法区分的路径到达同一个探测器。每条路径单独开放时都能产生计数。两条一起开放，却可能让这个方向更暗，因为复数箭头可以反向。

取两条路径的振幅为 $f_1=a$ 和 $f_2=ae^{i\phi}$ ，其中 $a$ 是正的长度， $\phi$ 是相对相位。先加箭头，再乘自己的复共轭，交叉项给出干涉。两条路径若能被环境区分，计算时还需把环境状态算入，不能直接使用这条相干求和。

完整例题：令 $a=1\,\mathrm{nm}$ 。相位差为零时，振幅加成两倍，微分截面为 $4\,\mathrm{nm}^2$ 。相位差为 $2\pi/3$ 时，两支箭头夹角为一百二十度，合箭头长度回到 $1\,\mathrm{nm}$ ，微分截面为 $1\,\mathrm{nm}^2$ 。反向时合箭头为零。

|f_1+f_2|^2=2a^2(1+\cos\phi)

分别计算两条路径的概率再相加，会丢掉依赖相位的这一项。

从有效面积走向相对论振幅

相对论理论通常使用不变量振幅 $\mathcal M$ 。它与这里的 $f$ 采用不同归一化。在自然单位制 $\hbar=c=1$ 下，对可区分的两体末态、质心系弹性散射，并采用通常的相对论单粒子态归一化，有下面的关系。自旋平均与求和必须另外说明。

后面的无质量胶子章节先研究固定颜色顺序、固定螺旋度的振幅。它还要重新组合颜色、处理自旋并加入末态相空间，才能成为碰撞截面。从一条紧凑公式直接画出事件率，中间少了这些物理步骤。

\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi^2s}\frac{|\mathbf p_{\rm out}|}{|\mathbf p_{\rm in}|}\,|\mathcal M|^2

这里的末态可区分；全同粒子的积分计数另有对称因子。能量平方记作 Mandelstam 变量。

来源：Lance J. Dixon

把推理带进实验

先预测哪个方向会变暗

保持波数和势不变，观察默认角分布。把最强和最弱的方向记下来。
只改变势强度，保存默认角扫描，再改变势强度并重新扫描，比较角分布和分波在圆上的位置。说明为什么每个分波的强度不能替代合振幅。
这个实验计算非相对论中心势散射。用本章的流量定义解释图形，再指出将它用于胶子碰撞还需要哪些改变。

练习与解释性答案

把探测器放远一倍，面积保持不变，计数怎样变？把面积同时扩大四倍又怎样？

展开解释

固定面积张开的立体角缩小到四分之一，远场计数也降到四分之一。面积扩大四倍后立体角恢复，计数恢复。散射截面本身与探测器距离无关。

两条等强路径的相位差为 $\pi/2$ 。微分截面是多少？为什么此时恰好等于单独概率之和？

展开解释

余弦为零，所以结果为 $2a^2$ 。这个相位上交叉项恰好消失；换一个相位，干涉项通常就回来了。

来源与复算范围

例题与示意图由课程编写，数值来自已定义模型。已发表参考复算的是指定参数的解析 CDD 曲线，没有复制实验数据、原文图或论文优化所得的数值点。下面列出实际核读位置与复算范围。

David Tong, Topics in Quantum Mechanics, Chapter 10, Scattering Theory

第 10.2.1—10.2.3 节：三维远场波、散射截面与分波。概率流到面积的推导和幺正圆例题由课程展开；链接的方势阱实验保留自己的模型与单位。

Lance J. Dixon, A brief introduction to modern amplitude methods, arXiv:1310.5353v1 (2013)

第 2 节式 (5) 为颜色分解；3.1 节式 (14)、(19)、(21)—(27) 为旋量和全出射约定；3.3 节式 (41)—(46) 为极化；4.1 节式 (55)—(57) 为软因子；4.3 节式 (68)—(70) 为 MHV 与共线因子；4.5、5.1 节式 (74)—(84) 为复三点起点与递推。守恒扫描路径和四点留数例题是课程推导的扩展。