亲手缩小一族 S 矩阵，再复算一条已发表曲线

先把解析带变成单位圆盘

沿用 $m=1$ 与 $\alpha=\pi/3$。用下面的双曲正切映射把物理带送进单位圆盘。交叉变换把圆盘坐标 $z$ 变成 $-z$；真实快度沿下半圆周走，带内部落在圆盘内部。这个坐标与前面的 BCFW 的复参数同名，但用途完全不同。

在固定 CDD 因子外乘一个有限有理函数。实系数 $r,a,b$ 控制候选形状；$0.1\leq r\leq1$。先冻结这三参数族，所有“允许”都指它内部满足所列必要条件的位置。

来源：M. F. Paulos · Patrick Dorey

三种条件各删掉什么

交叉要求额外因子在 $z\mapsto-z$ 下不变。分母本来是偶函数，分子的一次项只能消失，因此 $a=0$。在系数平面上，这一步把二维区域压到一条直线。

指定极点谱要求分母不要在单位圆盘中再长出极点。根满足 $z^2=1/b$；当 $|b|>1$ 时，它们进入圆盘。当 $|b|=1$ 时，它们到达阈值或高能边界，本模型也要求这些边界规则，故一并排除。正的 $r$ 保证一次分子不能同时抵消这两个根。撤掉交叉条件时，分子还可能抵消一个指定 CDD 极点；固定谱检查也排除这些系数线。

最后检查整条物理边界的模长。固定 CDD 因子在那里模长为一，问题只剩有理因子。把复数模长展开后，原本连续无限多个快度条件就变成一个闭区间上的二次函数最大值问题。

完整例题：把允许区解出来

先施加交叉 $a=0$。若 $b\geq0$，二次项系数非正，最大值在 $t=0$；再用 $|b|<1$ 得 $b\leq1-r$。若 $b<0$，函数向上弯，最大值在 $t=1$，于是 $-b\leq1-r$。两段合成一条精确线段。

取 $r=0.6$，允许范围是 $-0.4\leq b\leq0.4$。例如 $b=0.3$ 时，分母模长最小为 $0.7$，所以边界最大模长为 $0.6/0.7=6/7$。改成 $b=0.5$，最大模长变为 $1.2$，幺正必要条件失败。

还有一个容易误判的点：$r=0.6,a=0,b=2$。边界最大模长仍只有 $0.6$，却在圆盘内部多了 $z=\pm1/\sqrt2$ 两个极点。只看边界模长会把它留下；固定谱条件会把它删掉。

复算论文图 5a 的明确范围

选 $r=1,a=b=0$，候选函数退回精确 CDD 参考。Paulos 等人 arXiv:1607.06110v2 的图 5a 使用交换质量 $m_1=\sqrt3$；原文式 (9) 用能量平方写同一个函数，式 (14) 用快度写它。用两套独立变量计算实部、虚部与模长，再比较，能发现分支或符号错误。

取物理上边缘 $s+i0$，并选择 $Q(s)=-i\sqrt{s}\sqrt{s-4}$。这对应 $Q=-2i\sinh\theta$，与前章 CDD 的正号配套。代入 $s=6$，有 $\sinh\theta=\sqrt3$，得到 $S=3/5+4i/5$。这是一个能手算的复数基准，不依赖拟合。

页面和导出表重算这些函数值，没有抄取论文的像素或数字化红点。复现范围是选定参数的解析曲线和残数；原文的色散样条优化、最大耦合全质量曲线以及多粒子谱没有在浏览器里重做。

来源：M. F. Paulos

网格能发现反例，解析最大值覆盖整个区间

在一般参数下，先检查二次函数的两个端点；若二次项向下且驻点在区间内，还要检查驻点。有限候选点即可精确决定这个家族的边界模长条件。独立加密快度网格用于检查计算，覆盖整个区间则依靠这条最大值论证。

这个差别在更复杂 ansatz 里会更难处理。有限网格通过只能说明采样点通过；增加基底阶数可能扩大可行集，增加检查点又可能缩小它。要宣布严格界，需要控制连续边界、截断余项和数值误差。

最后还要问函数是否具有完整物理解释。本家族没有给出其他通道和非弹性阈值；许多模长小于一的候选一直损失弹性概率到阈值附近。在假定外粒子最轻、没有其他通道于该弹性阈值或更低处开放的谱中，完整理论还需要第一处非弹性阈值前的弹性区间，并需检查剩余谱与留数条件。这里的线段回答一个有限的必要条件问题，精确 CDD 参考另有已知理论支持。

来源：M. F. Paulos