为什么把动量拆成两个旋量

无质量条件减少了一个自由度

从这里到递推一章，固定四维时空、度规 $(+,-,-,-)$ 和自然单位 $\hbar=c=1$。四动量 $k^\mu=(E,k_x,k_y,k_z)$ 满足 $k^2=0$。把它装进下面的二阶矩阵，行列式正是四动量平方。非零而行列式为零的矩阵只有一个独立列方向，因此可以写成列向量乘行向量。

两个向量记作 $\lambda_\alpha$ 与 $\widetilde\lambda_{\dot\alpha}$，叫 Weyl 旋量。每个分量的量纲是能量的平方根。这两个旋量一起描述同一个无质量动量。

来源：Lance J. Dixon · R. Britto

反对称乘积保留了转动信息

两列二分量数的行列式是反对称的：交换两列便变号。用这个运算定义角括号旋量积；方括号也作相应定义。我们沿用 $s_{ij}=\langle ij\rangle[ji]$ 的符号约定。数值计算应把方括号的符号与这条等式一起固定，使用同一套定义。

完整例题：取 $\lambda_1=\sqrt{2E}(1,0)$，$\lambda_2=\sqrt{2E}(\cos(\vartheta/2),\sin(\vartheta/2))$。直接算二阶行列式得 $\langle12\rangle=2E\sin(\vartheta/2)$。平方模为 $2E^2(1-\cos\vartheta)$，正好是两条等能量未来指向无质量动量的内积两倍。接近平行时，这个旋量积随夹角一次方趋零。

螺旋度告诉我们公式应该怎样缩放

螺旋度是自旋沿运动方向的分量。无质量胶子只有两种物理螺旋度，单位约化 Planck 常数下分别为正一和负一。固定一种后，振幅仍能随着旋量相位约定改变相位，概率却保持不变。

把某条腿的旋量乘以非零复数 $q$，另一个旋量除以 $q$，动量矩阵不变。这种变换叫小群缩放。物理实态的相位自由度对应 $|q|=1$；一般复数缩放是它的解析延伸。螺旋度为 $h_i$ 的振幅按 $q^{-2h_i}$ 缩放。它是筛选候选公式的快速办法。

例如四胶子的 $(--++)$ 振幅，分母的循环角括号给每条腿两次。分子 $\langle12\rangle^4$ 给前两条腿各四次，于是前两条净权重为正二、后两条为负二，恰好符合螺旋度。

把颜色代数先收起来

胶子的颜色是一个内部量子编号。描述颜色对称性的生成元是矩阵，乘法顺序会影响结果；这种对称性叫非 Abelian。这里取生成元归一化 $\operatorname{Tr}(T^aT^b)=\delta^{ab}$，把树振幅写成颜色迹乘以纯运动学的部分振幅，规范耦合 $g^{n-2}$ 提到外面。每个部分振幅保留一个循环顺序。

对顺序 $(1,2,3,4)$，可切开的树图通道是 $s_{12}$ 与 $s_{23}$。把 $1$ 和 $3$ 单独切在一起会破坏这个平面循环顺序，所以同一个部分振幅不含独立的 $s_{13}$ 交换极点。完整颜色振幅由多个顺序重组得到。

全部动量从顶点向外标。真实入射动量要取负号，入射螺旋度标签也按出射约定反转。这样动量守恒写成总和为零，跨通道比较时无需每次重画箭头。

来源：Lance J. Dixon