FR05-A · 三张图怎样合成一个式子

胶子散射振幅

为什么换个极化参考，每张图都变了，合起来却不变？ 极化参考决定每张图怎样描述同一个横向胶子。两张交换图与接触项里的参考依赖互相抵消，总和就与紧凑的螺旋度表达式一致。

拖动出射方向，比较三张费曼图和一个螺旋度公式。再让第五个胶子变软，或与另一束粒子靠拢，看因子化怎样出现。

振幅大小 $1.49$

两种计算的相对差 $0$

四点 Ward 检查残差 $0$

数值条件估计 $8.37$

改变方向，看各项怎样抵消

一大串计算怎样变短

拖动金色出射端点，比较下方各张图的贡献。再看一个胶子变软，或与另一束粒子靠拢。

计算问题硬粒子出射方向

\theta

70^\circ

极化参考

极化参考方向

\varphi_q

30^\circ

这个辅助方向会改变每张图，请看下方复数箭头的变化。它不代表画面中多了一颗粒子。

约定与键盘操作

$g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1),\quad E_{\rm beam}=1$

入射腿编号为 1 和 2，按全出射约定给这两条腿标记负螺旋度。正螺旋度出射腿按所示色序排列。箭头表示动量方向，不表示粒子径迹。

聚焦画面后，也可以用左右方向键转动硬粒子的出射方向。

模型假设

计算采用剥去耦合常数的色序无质量树振幅，其中两个粒子为负螺旋度。箭头表示动量方向，长度为便于观察而重新缩放。软极限和共线极限的比较使用明确映射到壳上的四点运动学。这里不计算圈修正、颜色求和、部分子簇射或探测事件。

解析树级模型

三根箭头，加出同一个答案

第一张交换图

s_{12}

5.83+0.875i

第二张交换图

s_{23}

-5.98+1.09i

接触图

\text{contact}

0.147-0.478i

第一张交换图第二张交换图接触图总和 / 螺旋度答案

复数箭头首尾相接。白色终点表示紧凑螺旋度公式的结果；改变参考时，中间端点会移动。

数值细节

\sum_i k_i^\mu=0,\qquad k_i^2=0

四点模式的条件估计，是三张图各自的振幅大小之和除以总和的大小。因子化模式则取相邻旋量括号对应的逆张角尺度。两者都是局部估计，不是严格的前向误差界。

Dixon《现代振幅方法简介》（2013），第 3—5 节

先抓重点

核心问题: 为什么换个极化参考，每张图都变了，合起来却不变？
一句话直觉: 紧凑螺旋度公式里，已经包含了分开计算费曼图时必须逐项完成的抵消。

核心数学模型

两个负螺旋度的四点振幅

\begin{aligned}A_4(1^-,2^-,3^+,4^+)&\\&=i\frac{\langle12\rangle^4}{\langle12\rangle\langle23\rangle\langle34\rangle\langle41\rangle}\end{aligned}

尖括号是两个二分量动量旋量的反对称积。它与反向方括号相乘，得到两粒子的不变量。所有动量都按出射记号写，入射粒子的能量取负；耦合常数和颜色迹已剥去。

把极化矢量换成动量

A_4(\ldots,\varepsilon_j\mapsto k_j,\ldots)=0

对四条外腿分别做替换，再重新收缩三张图的洛伦兹指标。读数取四次结果中的最大值，再除以一与紧凑振幅大小中的较大者。

添入一个正螺旋度软胶子

\begin{aligned}A_5(1,2,3,5^+,4)&\\\underset{E_5\to0}{\longrightarrow}\;&\frac{\langle34\rangle}{\langle35\rangle\langle54\rangle}A_4(1,2,3,4)\end{aligned}

软因子只涉及色序中相邻的两条硬腿。有限能量下，比较用的硬粒子对映射为单位能量、背对背的动量；辐射越软，这个近似的相对差越小。

常见难点

一张图只是计算的一部分

容易误解每张图自己就应该与极化参考无关。

正确理解规范对称性要求的是完整总和与参考无关。漏掉接触图，抵消通常就会被破坏。

大振幅也需要仔细计算

容易误解因子化残差很小，就说明靠近极点时数值一定稳定。

正确理解残差只检查当前点的近似好不好。很小的旋量括号或很强的逐项抵消，还会放大舍入误差；条件读数用来提醒这一点。

动手实验

01
改变参考
选择“三张图，一个答案”。展开“极化参考”，把参考方向转一圈，观察数据区的三根复数箭头。
你会看到： 各张图的箭头会移动，总和仍落在紧凑公式的结果上。Ward 残差保持在浮点舍入误差附近。
02
让一个胶子变软
选择“胶子的能量越来越小”。先预测趋势，再把辐射能量逐次缩小十倍。
你会看到： 振幅变大，软近似与完整五点结果的相对差却变小。对数图把整段扫描的收敛过程画出来。
03
让两个方向靠拢
选择“两束出射粒子靠拢”。固定辐射能量，逐渐减小张角，并保存包含整段扫描的快照。
你会看到： 相邻两粒子的不变量趋近于零。共线分裂近似越来越准，旋量括号的条件估计也随之变大。

胶子散射振幅

三根箭头，加出同一个答案