一颗很软的胶子为何记不住整个碰撞

从相邻分母里认出软辐射

取五胶子顺序 $(1,2,3,5,4)$，负螺旋度仍在前两条腿，额外的正螺旋度胶子编号为 $5$。把四点和五点 Parke–Taylor 分母并排，只有连接 $3$ 与 $4$ 的那一段被新腿拆开。于是自然出现下面的比值。

让软动量 $k_5=\lambda\bar k_5$ 以固定方向趋零，两种旋量都按 $\sqrt\lambda$ 缩放。两个含软腿的角括号各带一个平方根，软因子便按软能量的倒数增长。长波长辐射在这个主导阶只辨认相邻硬腿的运动方向。

来源：Lance J. Dixon · R. Britto

不能只把一条动量缩短

把一条腿能量改小而其余动量全固定，会破坏总动量守恒。这样得到的“误差”混进了一个不成立的散射构型。我们改用一条明确的、每一步都守恒的三体末态路径。

总质心能量为二。硬腿 $3$ 指向单位矢量 $\mathbf n_3$，新胶子 $5$ 与它夹角为 $\alpha$，能量为 $\lambda$。先用能量守恒写出反冲腿的能量，再要求反冲腿无质量，就能解出硬腿能量。

完整例题：取 $\lambda=0.2$、$\alpha=\pi/2$。解得 $E_3=8/9$、$E_4=41/45$。两条选定末态正交，因此反冲三动量长度为 $\sqrt{(8/9)^2+(1/5)^2}=41/45$，与它的能量一致。总能量相加为二，三动量按构造相消。

一条腿分成两条近乎平行的腿

共线极限取 $k_3\simeq zP$、$k_5\simeq(1-z)P$。两条正螺旋度腿的角括号趋零，振幅中出现普适的分裂因子。把 $\lambda_3\simeq\sqrt z\lambda_P$ 和 $\lambda_5\simeq\sqrt{1-z}\lambda_P$ 代入循环分母，即可读出平方根因子。

在上述实动量路径上取 $z=E_3/(E_3+\lambda)$。比较用的四点硬过程把合腿方向选成 $\mathbf k_3+\mathbf k_5$ 的方向，再配一条相反的单位能量反冲腿。这是明确的守恒映射；有限夹角时映射有次主导差别，夹角趋零时差别消失。

来源：Lance J. Dixon

残数说的是传播中的真实中间态

一般树振幅在中间动量 $P^2$ 接近零时，极点的系数由左右两个在壳子振幅相乘、再对中间螺旋度求和得到。乘以 $P^2$ 再取极限，便抽出残数。下一章把这个局部信息沿复动量延拓，拼回整个振幅。

对实三点无质量运动学，所有动量平行。要直接用精确三点振幅计算一般因子化残数，需要复动量；实共线分裂是它在近似运动学中的表现。两者紧密相连，使用时仍需说清楚取的是哪条路径。

来源：Lance J. Dixon

画出趋近，而不是只取一个很小的数

软扫描比较 $A_5/(\mathcal S A_4^{\rm mapped})$，共线扫描比较 $A_5/(\operatorname{Split} A_4^{\rm mapped})$。四点振幅必须在上面定义的守恒硬构型计算，旋量相位也要沿路径连续。比值趋近一，比某个孤立点“很接近”更有说服力。

同时记录外腿无质量残差、四动量守恒残差、绝对与相对误差，并逐步缩小扫描参数。当理论次主导项继续下降而浮点误差开始抬头，误差曲线可能拐弯。把两类误差分开，才能判断是否已进入适当的渐近区间。