四个胶子的长计算为何只剩一行

固定一个可复算的碰撞

只算颜色顺序 $(1,2,3,4)$、出射螺旋度 $(--++)$ 的无质量 Yang–Mills 树振幅。取入射束能量 $E=1$ 作为单位，两束沿纵轴相向而来。全出射四动量和末态方向如下；方位角取零。

把这组数代入内积，可逐个检查所有外腿无质量，总能量与总三动量守恒。这个颜色顺序的反向端点有质量为零的交换极点，前向端点的振幅保持有限。页面采用远离端点的有限角度窗口。

极化方向需要一把参考尺

极化四向量 $\varepsilon_i$ 描述外腿的自旋态，它必须与该腿动量正交。用旋量写它时，再选一条无质量参考动量 $q_i$。参考动量提供表示横向方向的一把尺，不是又射进来一颗粒子。

下面的夹心符号表示把两端旋量与一组固定的 Dirac 矩阵收缩，结果是一个四向量。这一节使用它的两个性质：与自身动量正交，换参考只增加沿自身动量的分量。

换参考尺会给极化矢量增加一个与 $k_i$ 成比例的项。若完整振幅在把任一极化替换为自身动量后为零，新增项便不起作用。这就是此处的树级 on-shell Ward 检查。它需要所有必需图都已相加。

来源：Lance J. Dixon · R. Britto

两条计算路必须共享同一套约定

直接计算使用平面的 $s_{12}$ 交换、$s_{23}$ 交换和四胶子接触三项。每个交换图由两个三胶子顶点、一条传播子与四个外腿极化收缩得到。接触项没有内部传播子，却是规范抵消所必需的一部分。

第二条路直接使用 Parke–Taylor 的固定螺旋度表达。它没有极化参考动量。两路都去掉耦合与颜色迹，保留同样的整体相位；否则只比较平方模会漏掉相位或符号错误。

完整例题：碰撞角为直角。此时 $s_{12}=4$、$s_{23}=-2$。用 $|\langle ij\rangle|^2=|s_{ij}|$ 算紧凑式的平方模：分子为 $4^4$，分母为 $4\cdot2\cdot4\cdot2$，结果为 $|A_4|^2=4$。图求和在相同旋量相位约定下还要给出同一个复数。

来源：Lance J. Dixon

让冗余变大，观察抵消如何变难

参考尺接近某条外腿时，极化表示的分母会变小。单张图可能很大，最后却只剩一个普通大小的答案。机器以有限位数储存数字，相减会丢掉有效数字。这个误差来自表示的条件，不是相互作用突然加强。

用各图绝对值之和除以总和绝对值，定义消减指标 $\kappa_{\rm sum}$。它估计这一求和对各项相对误差的敏感程度。在总振幅为零的构型附近，相对误差本身也不适合单独使用，需同时看绝对误差。

一组可靠检查会同时比较两路复振幅、逐条腿的 Ward 残差、动量守恒与无质量残差，并记录参考选择。换参考后总和稳定而单图大变，是规范冗余在数值计算中的直接表现。