怎样用极点拼回一个树振幅

真实三点碰撞太特殊，复动量给它更多空间

三个无质量动量若都取实值，又满足总和为零，就只能彼此平行。所有两体不变量都为零。复动量允许角括号为零而方括号不为零，或反过来，因此三点振幅仍能保存非平凡信息。

两条负螺旋度腿的三点答案使用角括号；两条正螺旋度腿使用方括号。它们是递推的起点。外腿数量多时，极点把树分成更小的两棵树，最终可以一路拆到这些三点对象。

A_3(1^-,2^-,3^+)=i\frac{\langle12\rangle^3}{\langle23\rangle\langle31\rangle},\qquad A_3(1^+,2^+,3^-)=-i\frac{[12]^3}{[23][31]}

前式定义在方括号为零的复三点分支，后式定义在角括号为零的分支；实三点极限需要单独处理。

对四点 $(--++)$ 例子，改变第一腿的点旋量和第四腿的非点旋量，复参数记作 $z$ 。每个动量仍是两个旋量的外积，行列式继续为零。两条腿增加和减少的是同一个四向量，总动量保持不变。

这条复路径是计算工具。沿途的复能量不代表探测器能够测到的事件。最终回到参数零点，取回原来的实运动学振幅。

\widehat{\widetilde\lambda}_1=\widetilde\lambda_1-z\widetilde\lambda_4,\qquad\widehat\lambda_4=\lambda_4+z\lambda_1

其余旋量保持不变。这是负螺旋度第一腿与正螺旋度第四腿的良态位移。

\widehat k_1=k_1-zq,\quad\widehat k_4=k_4+zq,\quad q_{\alpha\dot\alpha}=\lambda_{1\alpha}\widetilde\lambda_{4\dot\alpha},\qquad q^2=q\cdot k_1=q\cdot k_4=0

两个位移相消；正交关系保证外腿质量平方在任意复参数处保持为零。

把位移代进四点表达。分子不变， $\langle41\rangle$ 也不变，只有 $\langle34\rangle$ 变成参数的一次式。整个问题变成求一个简单有理函数的留数。

把与参数无关的因子记作 $C$ 。极点位置从分母为零求出。函数 $A_4(z)/z$ 在这个极点的留数，是把它乘以距极点的差后取极限，得到 $C/(z_*\langle31\rangle)=-C/\langle34\rangle$ 。

Cauchy 定理把原点留数、这个有限极点留数和无穷远贡献相加。此例 $A_4(z)$ 在无穷远按参数倒数衰减，边界贡献为零。原点留数就是 $A_4(0)$ ，于是得到下面的重建。

C=\frac{i\langle12\rangle^3}{\langle23\rangle\langle41\rangle},\qquad A_4(z)=\frac{C}{\langle34\rangle+z\langle31\rangle},\qquad z_*=-\frac{\langle34\rangle}{\langle31\rangle}

这里假设相关括号非零且远离原始物理奇点；特殊构型可由连续极限取得。

A_4(0)=-\operatorname*{Res}_{z=z_*}\frac{A_4(z)}{z}=\frac{C}{\langle34\rangle}=i\frac{\langle12\rangle^4}{\langle12\rangle\langle23\rangle\langle34\rangle\langle41\rangle}

这是对已知四点函数的完整留数检查；一般递推再把留数换成两个三点子振幅的乘积。

上例极点也满足 $\widehat P_{12}^2=0$ 。那里振幅因子化成左边的三点 $(--+)$ 与右边的三点 $(-++)$ ，连接腿在两侧的螺旋度相反。把上一章的极点关系用到每个允许通道，再除去产生留数的位移斜率，就得到 BCFW 递推。

每一项的左右子振幅在本通道自己的复极点处计算，连接传播子则用原始未位移通道动量。这样小振幅数量减少，递推终能结束。四点只有一种平面划分；点数增加时，划分与中间螺旋度的求和都要保留。

A_n(0)=\sum_{\text{allowed channels }P}\sum_{h=\pm} A_L(z_P,\widehat P^h)\frac{i}{P^2}A_R(z_P,-\widehat P^{-h})+B_\infty

无穷远边界项只有在所选位移确实衰减时才能设为零；递推同时使用极点留数和无穷远行为。

反过来移动第一腿的非点旋量与第四腿的点旋量，四点分子的 $\langle12\rangle^4$ 一般按参数四次方增长，分母只有一个相关线性因子，结果按 $z^3$ 增长。此时只加有限极点留数会漏掉边界项。

良态位移、正确因子化和一个明示的理论共同支撑递推。换成含更高导数接触相互作用的理论时，极点可能不变，局部多项式却能改变答案。接触相互作用的信息会出现在无穷远行为中。