把二维散射放进一条复平面带

一个空间维度把运动学变简单

现在的时空是一维时间加一维空间，度规为 $(+,-)$ ，自然单位仍取 $\hbar=c=1$ 。粒子质量为 $m$ ，并以它为能量单位。单粒子动量可写成 $p=m(\cosh\beta,\sinh\beta)$ ，因为双曲余弦平方减双曲正弦平方恒为一。

两条入射腿的快度差记作 $\theta=\beta_1-\beta_2$ 。质心系快度各为正负一半，故总能量平方只依赖这个差。实快度给出两粒子阈值以上的物理散射。

s=4m^2\cosh^2\!\frac\theta2=2m^2(1+\cosh\theta),\qquad s\geq4m^2\quad(\theta\in\mathbb R)

本章的标量弹性 S 矩阵元素包含自由传播的单位项；这个定义与前面胶子部分振幅的归一化分别使用。

把一条粒子线从末态换到初态，解析关系把 $s$ 送到 $4m^2-s$ 。对全同无电荷粒子，交叉对称要求这两个解析值相等。在快度里，这个变换是 $\theta\mapsto i\pi-\theta$ 。

平方根在复平面上需要选定分支；沿割线两侧靠近同一点，可以得到不同符号。把两条割线围出的物理片展开为 $0<\operatorname{Im}\theta<\pi$ ，叫物理解析带。真实散射位于下边缘，交叉后的散射位于上边缘。内部纯虚快度对应阈值之间的实能量平方；稳定粒子交换可以在那里留下极点。

S(\theta)=S(i\pi-\theta),\qquad S(s)=S(4m^2-s)

交叉是一个解析关系；不能仅把正实能量数据镜像后就认定内部函数已被确定。

|S(\theta)|^2\leq1\qquad(\theta\in\mathbb R)

完整幺正矩阵中，单个弹性元素只能携带不超过全部入射概率；纯弹性解达到等号。

快度物理解析带

0<\operatorname{Im}\theta<\pi

下边缘是真实散射；成对极点来自固定 CDD 参考。本图是课程自行绘制的示意。

\theta=i\pi/3,\;2i\pi/3\quad\Longleftrightarrow\quad s=3,\;1

取实角 $0<\alpha<\pi/2$ ，用双曲正弦组成下面的比值。对实快度，分子与分母互为共轭，模长恒为一。又因为 $\sinh(i\pi-\theta)=\sinh\theta$ ，它自动满足交叉关系。这叫一个 CDD 极点因子。

分母在 $\theta=i\alpha$ 及 $i(\pi-\alpha)$ 为零。把第一个位置代入能量平方，得到交换粒子质量 $m_1=2m\cos(\alpha/2)$ ；另一个给出交叉伙伴。一个函数因此同时展示了边界幺正性与内部谱信息。

C_\alpha(\theta)=\frac{\sinh\theta+i\sin\alpha}{\sinh\theta-i\sin\alpha},\qquad C_\alpha(\theta)C_\alpha(-\theta)=1

这是 Paulos 等人式 (14) 的单个 CDD 因子，选定正号；它的极点结构必须与所假设粒子谱配套。

s(i\alpha)=4m^2\cos^2\!\frac\alpha2=m_1^2,\qquad s(i(\pi-\alpha))=4m^2-m_1^2

交叉把两个极点配对；选定一个位置后，另一个也随之确定。

设 $m=1$ 、 $\alpha=\pi/3$ 。两个极点位于纯虚快度的三分之一和三分之二处，对应 $s=3$ 与 $s=1$ 。直接在第一个极点附近把分母作一次展开：分母导数为 $\cos\alpha=1/2$ ，分子在极点为 $i\sqrt3$ 。

快度变量中的留数为 $2i\sqrt3$ 。留数会随变量变换改变；乘上 $ds/d\theta=i\sqrt3$ 才得到能量平方变量里的 $-6$ 。把两个留数当同一个数字，会让耦合归一化错掉。

\operatorname*{Res}_{\theta=i\alpha}C_\alpha=2i\tan\alpha,\qquad\operatorname*{Res}_{s=3}S=\left(2i\sqrt3\right)\left(i\sqrt3\right)=-6

变量变换使用极点处的导数；这里以外粒子质量为单位，所有质量比均无量纲。

S(s)\simeq-\frac{g_1^2}{2m_1\sqrt{4-m_1^2}}\frac{1}{s-m_1^2}\quad\Longrightarrow\quad g_1^2=12\sqrt3\qquad(m_1=\sqrt3)

这个无量纲耦合严格采用原文式 (3) 的定义。若改用连接 T 振幅或别的态归一化，必须重新换算。

固定一个弹性元素的交叉、解析域和模长，能排除许多候选函数。要把每个留下的函数解释成完整量子场论，还需其他散射通道、阈值、留数符号及更高过程相容。末章会亲手缩小一个有限参数家族，并明确分清解析结论、数值抽样与理论存在性。

这个单 CDD 参考对应原论文讨论的 sine-Gordon 轻 breather 散射。这里复算它的解析函数与指定参数曲线，完整粒子谱的确定还需要更多过程与信息。