完美探测器还会留下多少量子计数噪声

先说清楚一次试验从哪里开始

读 Itano 等人 1993 年的《量子投影噪声：二能级系统中的布居涨落》，同时保留 1995 年的勘误。先找三个环节：制备了什么，探测了什么，重复的是哪一段过程。实验用单个汞离子和成组的铍离子，研究两种内部状态之间的计数涨落。

一次试验从重新制备开始。用脉冲准备原子后，测量可能得到两种内部状态中的任一种，再用荧光辨认结果。重新制备、再测一次，即使探测器每次都判断正确，得到的结果也会起伏。

做笔记时分清两个数。辨认一个原子状态时收到的许多荧光光子，帮助我们把这一次判断做准；重新制备的原子数，才决定抽样了多少次独立的状态结果。对已经测过的同一个原子继续收光，增加的是前一种计数。

设想四个独立原子，每个得到两种结果的机会各一半。总共十六种等可能的结果序列。激发态数从零到四，分别有一、四、六、四、一种序列。平均激发态数为二；把十六种序列对应的计数分别减去二，平方后取平均，方差为一。

把它推广到固定的接收原子总数，每个原子仍有相同且独立的激发概率，激发态计数就服从二项分布。下式依次给出计数的方差与激发态比例的标准差；带帽子的量表示从结果估计出的比例。总数在状态分类之前确定，这里假定每个状态都被准确辨认。

\operatorname{Var}(K)=Np(1-p),\qquad \sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}

两种结果各占一半时，一百个独立原子的激发态计数，标准差是五。除以一百，比例的标准差就是 0.05。换成四百个原子，比例标准差降到 0.025。样本数增加四倍，误差缩小一半。

这是固定激发概率下的教学算例，可以拿来检查分析方法。看真实数据时，要比较不同制备占据下的方差：结果接近确定时起伏小，两种机会接近一半时起伏大。探测背景需要另做标定，才能把这种随状态改变的起伏辨认出来。

现在让制备条件有时偏向激发概率 0.4，有时偏向 0.6，两种情况各一半。每次试验中的所有原子共用同一个条件。平均概率仍是二分之一，但同一批原子会一起偏高或偏低。

一百个原子在每批内部的二项计数方差为 24；各批平均值的变化，另外贡献 100，总方差变成 124。固定概率时只有 25。这个教学算例把“同一批内部怎样波动”和“不同批次的中心怎样移动”拆开来算。

声称达到投影噪声限制时，就要检查共用驱动的涨落、原子总数的变化，以及状态分类错误。纠缠态或其他带相关的原子制备，也需要把相关性纳入概率模型。独立原子的公式对应的是前面明确规定的那一种制备。

原子钟利用共振曲线的斜率，把激发态比例换算成频率。读论文时，要把斜率和噪声一起看。对峰顶激发概率达到一的单位对比度理想条纹，接近极大值时，投影噪声和斜率都会趋近零，二者比值的极限需要小心处理；加上探测噪声后，合适的工作点也会改变。只有结合频率响应，才知道一组很安静的计数能提供多少信息。

以后可以按这个顺序记录：接收了多少原子，怎样重新制备，状态分类怎样标定，方差是多少，共振斜率是多少。只在一个测量基下数占据，有些叠加态与统计混合态会给出相同结果，还可以增加一次对相位敏感的测量来区分。1995 年勘误修正的是量子力学解释的一处归属，读历史讨论时应一并保留。