三个光子的 GHZ 关联为何难倒预写的答案

三个纠缠光子，要探测到四个

三个人各测一个光子，每人得到正一或负一。单看每个人，答案都随机；把三个答案相乘，乘积却可以确定。这是 Greenberger、Horne 和 Zeilinger 提出的 GHZ 态的一项特别性质。Bouwmeester 等人在 1999 年把两对光子组合起来，选出触发臂一次点击、另三臂也都探测到的四重事件，制备出三光子纠缠。

四次探测一起出现，是验证这个态的条件；触发臂单独响，还不能宣告有一组三光子可供后续使用。实验还要分清相干叠加与普通混合，因为两者在原来的偏振方向上，可能给出同样的计数。

论文既检验了目标偏振分量，也检验了分量之间的相干性。这是两个问题：非相干混合也能重现各分量的布居。2000 年，Pan 等人进一步用四种偏振设置检验了 GHZ 非局域性论证。制备这个态和检验这组矛盾是相关的成果，但各自需要不同的数据。

证据阅读：D. Bouwmeester, J.-W. Pan, M. Daniell, H. Weinfurter and A. Zeilinger (1999), Observation of Three-Photon Greenberger-Horne-Zeilinger Entanglement, PRL 82, 1345–1349 J.-W. Pan et al. (2000), Experimental test of quantum nonlocality in three-photon Greenberger–Horne–Zeilinger entanglement, Nature 403, 515–519 — abstract and figure captions

每站选两种偏振测量

每站可以选 X 或 Y 两种偏振测量。X 分辨两个对角方向的线偏振，可以画成沿一条对角线或另一条对角线来回振动的光。Y 分辨两种圆偏振，对应的偏振图像沿相反方向转动。每个探测结果都记作正一或负一，精确的正负约定写在下方可直接阅读的来源说明里。

下式用零代表水平偏振，一代表竖直偏振。理想 GHZ 态把“全水平”和“全竖直”以等幅、正号叠加，并保留两者的相位关系。尖括号内表示三站结果乘积的平均：三个 X 测量时为正，一个 X 配两个 Y 时为负。实验要比较的，就是这四项预言。

\begin{gathered}|G_+\rangle=\frac{|000\rangle+|111\rangle}{\sqrt{2}},\\ \langle XXX\rangle=1,\quad\langle XYY\rangle=-1,\\ \langle YXY\rangle=\langle YYX\rangle=-1\end{gathered}

证据阅读：D. Bouwmeester, J.-W. Pan, M. Daniell, H. Weinfurter and A. Zeilinger (1999), Observation of Three-Photon Greenberger-Horne-Zeilinger Entanglement, PRL 82, 1345–1349 D. M. Greenberger, M. A. Horne and A. Zeilinger (1989), Going Beyond Bell’s Theorem — original contribution made available as arXiv:0712.0921 in 2007

没有一张局域指令表能同时满足四种设置

假设有一种局域确定性模型：每一站对两种分析器都预先备好答案，而且与远方的选择无关。这样共有六个二值答案，完整的指令表共有 64 张。按这里的约定，凡是含两个 Y 的设置，三站结果的乘积都必须为负。

把这三个要求乘起来，每个预设的 Y 答案都出现两次，正好消掉，剩下三个 X 答案的乘积为负；量子理论却预言它为正。逐一检查发现，有八张表满足前三个要求，可它们全都不满足第四个。没有一张表能同时满足四项，把指令表随机混合，也凑不出四个完美关联。

证据阅读：D. M. Greenberger, M. A. Horne and A. Zeilinger (1989), Going Beyond Bell’s Theorem — original contribution made available as arXiv:0712.0921 in 2007 J.-W. Pan et al. (2000), Experimental test of quantum nonlocality in three-photon Greenberger–Horne–Zeilinger entanglement, Nature 403, 515–519 — abstract and figure captions

每次只对一个光子选一种测量

每次试验测三个分开的光子，每个光子只选一种分析器设置。要比较四种组合，实验就反复制备新的三光子样本，在不同试次中更换设置。各组答案来自不同光子；局域指令表的论证追问的是，同一套预先约好的回答，能不能解释所有这些样本。

理想态在每种设置下允许四种联合结果，每种概率都是四分之一。它们的乘积符号相同，可单看任意一站，正负仍各占一半。确定的是三个随机答案的乘积，任何一站都无法用自己的结果向另一站发送可控消息。

证据阅读：D. M. Greenberger, M. A. Horne and A. Zeilinger (1989), Going Beyond Bell’s Theorem — original contribution made available as arXiv:0712.0921 in 2007

数据不完美时，比较得分与局域上限

真实数据里有错误的奇偶性、漂移和不确定度。我们的穷举还表明，如果四种设置均匀选取，局域指令在四种设置里最多只能成功三种。换一种说法：带符号的关联和最多为二，理想量子态则给出四。这个得分是我们自己的计算，不是对历史数据的拟合。

在一个教学用的模型里，理想 GHZ 态占百分之六十，其余是白噪声；这时每种设置要求的奇偶性有百分之八十会出现，关联和变成 2.4。单凭这个数，还谈不上实验显著性。试次怎样定义、设置是否独立选取、何时停止采集，以及各结果的实际计数，决定了该用哪种统计检验。

没探测到的事件，同样限制结论

要求四重符合，只留下了光源全部尝试中很小的一部分。要把通常的局域模型上限用在这部分筛选出的数据上，需要公平采样之类的假设，或者在试验设计里明确计入未探测事件。触发信号本身堵不上探测漏洞；局域性还要另外检查时空间隔和设置的选择。

选定的奇偶关联检验了多粒子量子预言，但没有确定三光子态的全部信息。历史成果是在写明的探测与时序假设下制备条件多粒子纠缠，并检验它的非局域关联。

来源与阅读说明

本文读了五页的 1999 年 PRL，以及以 arXiv:0712.0921 形式公开的 GHZ 原始论文。2000 年 Nature 实验只看到出版方的摘要和图注，全文需要订阅。文中的正相位三比特约定、局域指令表穷举和复振幅检验，都是我们自己的教学计算，没有重建历史计数。公式的严格约定如下：零代表水平偏振，一代表竖直偏振；态取全零与全一等幅、正号的叠加。X 的正结果取水平和竖直分量等幅、同相的组合；Y 的正结果取水平分量振幅为正实数、竖直分量振幅为等幅正虚数的组合，负结果取相反的虚数相位。这样定正负，不使用容易混淆的左旋、右旋名称。1999 年论文两个分量中第三光子的偏振与这里相反，对该臂作局域比特翻转便得到本文约定。改变态的相位或重标结果，须同步处理相应的奇偶符号。四个整体三光子乘积算符彼此对易，但同一光子的 X 与 Y 不相容；整体对易不表示本地结果可以同时预赋值。我们的振幅计算逐一相加每种设置的八个联合结果：四种允许结果各占四分之一，错误奇偶性概率为零。选定的四组奇偶关联没有确定三比特密度矩阵的全部元素。