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Sandbox Physics

三个光子的奇偶关联

三光子 GHZ 关联台

三个光子各自的结果都随机，怎么还能超出所有局域解释的极限？ 关键在三个结果的乘积。单看一个光子，或任意两个，正负都随机；但在理想 GHZ 态里，分析器设置合适时，三者的乘积是确定的。把四种设置的乘积组合起来，最大能到 4，而任何局域的预设结果最多到 2。探测有漏检时，只有保留下来的三重符合是公平样本，这个比较才成立。

记录三个站的结果，连同到达时间、漏检和设定的符合时间门。用保存的触发画出八种结果的直方图和四组奇偶关联，再比较只用合格三重符合和用全部触发算出的 Mermin 统计量。

交互模型三光子 GHZ 关联台

抽象的制备源给出三个输出模式和理想触发；每个站有一个赤道分析器和两个输出探测器。光路和飞行时间都是示意，不模拟历史上的 SPDC 光源，也不模拟类空分离。保留的触发可在场景下方查看。

可复现的合成观测

每次触发都留在记录里。

可以开始采集模拟数据了。

每次理想触发都从四种联合分析基中随机选一种。探测器没有点击时结果记为零，时间留空。三个站都有点击，且到达时间的跨度落在所选时间门内，才算一次符合。三站的固定计时偏移依次为零、正零点四和负零点三纳秒；不扣除偶然符合，也不做效率修正。

保留的数据

所选分析基的八种结果。

k=4[a<0]+2[b<0]+[c<0],Nk\begin{aligned}k&=4[a<0]+2[b<0]\\&\quad+[c<0],\quad N_k\end{aligned}

八种符号组合按二进制编号零到七，从全正排到全负。绿柱是被接收的三重结果计数，计数为零的格也照样显示。灰色轮廓是保存的对照在同一分析基编号下的结果，它记录的分析角可能不同。CSV 里还保留了每个未被接收的触发。

从记录得到估计

只下测量支持的结论。

条件 Mermin 统计量

—\text{—}

全触发统计量 · 漏检记零，不加时间门

—\text{—}

条件抽样标准误

—\text{—}

记录的三站符合接收比例

—\text{—}

保留站点结果 · 零表示无点击

—\text{—}

所查看分析基的接收与触发数

—\text{—}

主统计量要求采集完整，且每个分析基至少有五十个被接收的事件。误差是二项抽样的近似，不是 p 值。仅凭这四种赤道设置，无法把可见度和相位分开确定，也不能认证密度矩阵。

数据归约

条件与全触发奇偶。

b:  XXX,  XYY,  YXY,  YYXb:\;XXX,\;XYY,\;YXY,\;YYX

绿色是被接收的样本；棕色是全部触发，漏检记零，不按时间筛选；灰色是保存记录在其角度和时间门下的条件关联。局域 Mermin 界适用于满足既定假设的无条件协议；用到筛选后的样本上，还需要假定接收是公平的。

探测与时间门检查。

i,max⁡(tA,tB,tC)−min⁡(tA,tB,tC)  (ns)i,\quad \max(t_A,t_B,t_C)-\min(t_A,t_B,t_C)\;(\mathrm{ns})

前二百四十次触发中，三个站都有点击的记录。绿色在时间门内，棕色在门外，横线标出设定的时间门。有漏检的触发保留在 CSV 中，不会编造到达时间。

最后八条原始记录

列：触发、分析基索引、三个结果、接收标记；导出还包含全部站点角度及纳秒到达时间。

触发分析基ABC接收

模型与来源

假定触发是理想的，三量子比特 GHZ 态已经制备好，再加入白噪声、独立的探测损耗、Gaussian 计时抖动和非相干的偶然三重事件。光源只是一个抽象模块，没有重建 SPDC 光路。分析器只在赤道面上测量。不做完整层析，不认证保真度或真正的三体纠缠；没有类空时序，不堵任何漏洞，也不重建历史数据。只用合格三重符合做统计时，前提是假定接收是公平的。

假定的三光子态

∣Gϕ⟩=∣HHH⟩+eiϕ∣VVV⟩2ρ=V∣Gϕ⟩⟨Gϕ∣+1−V8I\begin{aligned}|G_\phi\rangle&=\frac{|HHH\rangle+e^{i\phi}|VVV\rangle}{\sqrt2}\\\rho&=V|G_\phi\rangle\langle G_\phi|+\frac{1-V}{8}I\end{aligned}

这里直接假定三光子态已经制备好，不模拟光学上怎样产生它。偶然三重事件另外加一份成分，各种结果出现的概率相同。

赤道面分析器的结果概率

A(ϑ)=cos⁡ϑ X+sin⁡ϑ YP(a,b,c)=1+abc E8E=Vcos⁡(ϑA+ϑB+ϑC−ϕ)\begin{aligned}A(\vartheta)&=\cos\vartheta\,X+\sin\vartheta\,Y\\P(a,b,c)&=\frac{1+abc\,E}{8}\\E&=V\cos(\vartheta_A+\vartheta_B+\vartheta_C-\phi)\end{aligned}

每个结果是正一或负一。没有损耗时，单看一个站或任意两个站，结果都完全随机；只有三方结果的奇偶携带相干信息。

四种设置组成的 Mermin 量

M=EXXX−EXYY−EYXY−EYYX∣Mlocal∣≤2,MG0=4\begin{aligned}M&=E_{XXX}-E_{XYY}\\&\quad-E_{YXY}-E_{YYX}\\|M_{\rm local}|&\le2,\quad M_{G_0}=4\end{aligned}

把局域的确定性赋值全部列出来：三个站的两种设置各定一个结果，共六十四种，由此得到局域界。理想值要求分析器对准、相位为零。

奇偶关联的两种估计

E^cond=∑r∈Carbrcr∣C∣E^all=∑r=1NtrigarbrcrNtrig\begin{aligned}\widehat E_{\rm cond}&=\frac{\sum_{r\in C}a_rb_rc_r}{|C|}\\\widehat E_{\rm all}&=\frac{\sum_{r=1}^{N_{\rm trig}}a_rb_rc_r}{N_{\rm trig}}\end{aligned}

三个站都点击，而且到达时间的跨度落在时间门内，这次触发才算合格。全触发统计量不看时间门，哪个站漏检就记零。拿合格样本的值去和界比较，要先假定接收是公平的。两种统计量都不能证明一次真实实验没有漏洞。

Pan et al. · Three-photon GHZ test (2000)Mermin · Extreme quantum entanglement (1990)

双离子量子逻辑光谱

物理教程

三光子 GHZ 关联台

背景记录三个站的结果，连同到达时间、漏检和设定的符合时间门。用保存的触发画出八种结果的直方图和四组奇偶关联，再比较只用合格三重符合和用全部触发算出的 Mermin 统计量。

为什么值得理解测量协议是一串步骤，把制备好的量子系统和保存下来的探测计数连在一起。

先抓重点

核心问题
三个光子各自的结果都随机，怎么还能超出所有局域解释的极限？
一句话直觉
关于源的假设，和从记录数据得出的估计，要分开看。

核心数学模型

假定的三光子态

∣Gϕ⟩=∣HHH⟩+eiϕ∣VVV⟩2ρ=V∣Gϕ⟩⟨Gϕ∣+1−V8I\begin{aligned}|G_\phi\rangle&=\frac{|HHH\rangle+e^{i\phi}|VVV\rangle}{\sqrt2}\\\rho&=V|G_\phi\rangle\langle G_\phi|+\frac{1-V}{8}I\end{aligned}

这里直接假定三光子态已经制备好，不模拟光学上怎样产生它。偶然三重事件另外加一份成分，各种结果出现的概率相同。

赤道面分析器的结果概率

A(ϑ)=cos⁡ϑ X+sin⁡ϑ YP(a,b,c)=1+abc E8E=Vcos⁡(ϑA+ϑB+ϑC−ϕ)\begin{aligned}A(\vartheta)&=\cos\vartheta\,X+\sin\vartheta\,Y\\P(a,b,c)&=\frac{1+abc\,E}{8}\\E&=V\cos(\vartheta_A+\vartheta_B+\vartheta_C-\phi)\end{aligned}

每个结果是正一或负一。没有损耗时，单看一个站或任意两个站，结果都完全随机；只有三方结果的奇偶携带相干信息。

四种设置组成的 Mermin 量

M=EXXX−EXYY−EYXY−EYYX∣Mlocal∣≤2,MG0=4\begin{aligned}M&=E_{XXX}-E_{XYY}\\&\quad-E_{YXY}-E_{YYX}\\|M_{\rm local}|&\le2,\quad M_{G_0}=4\end{aligned}

把局域的确定性赋值全部列出来：三个站的两种设置各定一个结果，共六十四种，由此得到局域界。理想值要求分析器对准、相位为零。

奇偶关联的两种估计

E^cond=∑r∈Carbrcr∣C∣E^all=∑r=1NtrigarbrcrNtrig\begin{aligned}\widehat E_{\rm cond}&=\frac{\sum_{r\in C}a_rb_rc_r}{|C|}\\\widehat E_{\rm all}&=\frac{\sum_{r=1}^{N_{\rm trig}}a_rb_rc_r}{N_{\rm trig}}\end{aligned}

三个站都点击，而且到达时间的跨度落在时间门内，这次触发才算合格。全触发统计量不看时间门，哪个站漏检就记零。拿合格样本的值去和界比较，要先假定接收是公平的。两种统计量都不能证明一次真实实验没有漏洞。

常见难点

模拟里本来就写好了定律

容易误解从数据里恢复出源参数，就独立验证了定律。

正确理解这些合成记录检验的是测量和推断的流程。它们不是历史观测，不给出参数的置信区间，也不算外部的科学认证。

动手实验

  1. 01

    四种设置都要采集

    用随机选定的分析基采集触发，再逐格查看结果直方图。

    你会看到： 八格全部显示，计数为零的也在。CSV 里保留漏检，以及没通过符合门的事件时间。
  2. 02

    改变相位和相干性

    保存对照，选“相位反转”，再选“无相干混合”。

    你会看到： 相位反转后，关联的正负号翻了过来。无相干混合会抹掉三方奇偶，各站自己的结果始终是随机的。
  3. 03

    看筛选带来的影响

    降低探测效率，或收窄时间门。

    你会看到： 只用合格样本和用全部触发的统计量开始分开。导出的数据里，漏检和没通过的触发一条不少。

相关实验与文章

量子物理证据 · 阅读路径

Bell 检验与光子信息

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

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