Q024 · 磁场中的耦合自旋能级

自旋耦合与 Zeeman 谱

能级明明存在，谱线为什么会消失？ 有能级，不等于有谱线，微波还得能把这两个态耦合起来。在选定的偏振下，如果两个态之间的驱动矩阵元为零，这条跃迁就不会出现。

用磁场把电子自旋和核自旋耦合后的能级分开。转动微波驱动，记录谱线，再找出每条允许的跃迁连着哪两个态。

模型最低能隙 $\text{—}$

单重态的成分 $\text{—}$

01 / 用一个频率探测原子

把磁场调大，看谱线分开。

先关闭静磁场扫一次谱并保存，再打开磁场重扫。转动驱动方向，看哪些跃迁还在。

有效自旋对 · 静磁场竖直 · 微波驱动在竖直平面内旋转 · 概念态读出

探测频率

h\nu/A_0

1.2

制备探测状态变了吗？

就绪。一次扫描覆盖 121 个频率，每个频率重新制备 200 次。

做一组对照

静磁场

b

1

制备能级

i

0

驱动与静磁场夹角

\theta/{}^\circ

90

第零级是基态，零场时为单重态。激发态简并时，按选定的基底约定排列。驱动角从静磁场方向量起。

线宽、耦合与采样

超精细耦合

A/A_0

1

线宽（半高全宽）

h\Gamma/A_0

0.06

采样种子

s_0

24133

调频率保留记录，改制备前先保存；预设会载入新的模拟扫描。

模型是两个二分之一自旋粒子的示意组合。能量用参考单位，核磁矩比取一个设定值，不对应任何具体原子。谱线计数来自非相干的弱响应模型，假定态制备理想、读出只分是与否。

02 / 读出器到底记录了什么？

看哪些探测频率会改变状态。

显示模型参考

$h\nu/A_0$ · 蓝色：当前样本；橙色：最近保存的另一组样本；虚线：当前模型。拖动游标调频。

当前频率

\text{—}

改变次数 / 制备次数

—

\text{—}

当前频率的不确定度

这个频率上独立二元读数的百分之九十五 Wilson 区间，采样前不显示。逐点区间不是联合置信带；看着结果随时决定停止采样时，它也不再保证覆盖率。

最近 60 次读数

蓝色表示改变，灰色表示未变；每次都重新制备。

已记录样本

能级与电荷敏感性

03 / 谱线从哪里来？

能级在移动，驱动决定哪些能级之间能跃迁。

$b$ · $E/A_0$ · 这是模型结果。左右拖动，也可以用对应滑块和键盘调节。

彩色箭头为从制备态出发的允许跃迁，粗细表示归一化强度；灰线为其他能级。

\text{—}

查看制备态与脉冲

模型检查 · 不增加计数

同一个态，两种描述。

直积顺序 $\uparrow\uparrow,\ \uparrow\downarrow,\ \downarrow\uparrow,\ \downarrow\downarrow$

耦合顺序 $(F,m)=(0,0),(1,1),(1,0),(1,-1)$

两组柱子描述同一个制备好的本征态。柱高是概率，不表示原子在几种隐藏构型之间跳来跳去。零场时三重态简并，本征基的选法只是约定；旋转这组基会改变各分量，但简并谱线的总强度不变。

已保存的对照样本

怎样保存和比较样本

最多保存八组样本，保存后不再变化。恢复后可以查看；再采集会开始新记录。CSV 含逐次读数、实际探测频率和制备参数。用同一种子会重复同样的抽样，不算独立证据。

模型、基底收敛与来源

能量以参考能量为单位。探测频率指普通频率乘以 Planck 常数，不是角频率。曲线和能级箭头是模型预测；记录来自模拟的独立试验，每次都经过制备、探测和读出。

H/A_0=a\,\mathbf I\!\cdot\!\mathbf S+b(S_z-rI_z),\quad I=S=\tfrac12

O=S_z\cos\theta+S_x\sin\theta,\quad r=0.0015

自旋算符无量纲，用直积基底写出；静磁场正方向竖直。微波磁场的轴在水平—竖直平面内，零角度为纵向。超精细耦合为正，零场基态是单重态。核磁矩比取示例值，不含具体同位素常数、四极项、Doppler 展宽和光泵浦动力学。

Steck · Hyperfine / Zeeman Hamiltonians and Breit–Rabi limits——只借用其中的算符约定，本模型不是铷原子。

\text{—}

p(\nu)=0.01+0.20\sum_{j\ne i}w_{ji}\left[1+4((\nu-\nu_{ji})/\Gamma)^2\right]^{-1}

w_{ji}=\frac{|\langle j|O|i\rangle|^2}{\sum_{k\ne i}|\langle k|O|i\rangle|^2}

读出采用假定的非相干 Lorentz 线形响应：假改变背景固定为百分之一，百分之二十的对比度按强度分给各条跃迁。线宽为半高全宽。强度在每种制备内归一化，所以不同设置下的峰高不能用来比较绝对偶极矩。所有能级都参与归一化，包括图示范围以外的跃迁。这个读出模型不求解相干脉冲动力学，也不是拟合得到的仪器标定。

先抓重点

核心问题: 能级明明存在，谱线为什么会消失？
一句话直觉: 没有谱峰，不一定是没有能级；驱动的矩阵元可能为零。

核心数学模型

耦合自旋 Hamiltonian

H/A_0=a\,\mathbf I\!\cdot\!\mathbf S+b(S_z-rI_z)

二分之一自旋算符没有量纲，耦合为正，核磁矩比只是示例。静磁场沿竖直轴。

零场时的能级

E_{F=0}/A_0=-3a/4,\qquad E_{F=1}/A_0=a/4

零场时有一个单重态和三个简并的三重态，两者之间的能隙等于超精细耦合。

探测算符

O=S_z\cos\theta+S_x\sin\theta

转动驱动只改变矩阵元，不改变静态能级。零场时三重态基底怎么选只是约定，同一频率上的总强度不受影响。

常见难点

不是每个能级都有谱峰

容易误解每个能级都应该产生一个看得见的谱峰。

正确理解制备的态、探测算符、线宽、频率范围和有限的计数都有影响。图示频带之外的谱线，仍然参与强度归一化。

模型不是标定仪器

容易误解模拟谱线很窄就证明实验寿命很长。

正确理解线宽和低对比度的 Lorentz 响应是给模型设定的输入。另外那个脉冲测试用的是旋波模型，不从这些计数推断脉冲动力学或硬件噪声。

动手实验

01
扫描前先预测
关掉静磁场。三重态简并时，还应剩几个不同的跃迁频率？
你会看到： 虚线来自模型，不是采到的数据；预测时可以先把它藏起来。
02
采集并保存
扫描并保存样本，只改变一项制备条件，再扫一次。
你会看到： 每个频率都重新制备、独立采样。橙色点保留的是最近一次保存的制备。
03
解释消失的谱线
在有限磁场下切换纵向和横向驱动，看哪些跃迁被允许。
你会看到： 谱线位置由能量差决定；但矩阵元不为零，谱线才看得见。

自旋耦合与 Zeeman 谱

看哪些探测频率会改变状态。

能级在移动，驱动决定哪些能级之间能跃迁。

同一个态，两种描述。