DIRAC 动力学 / 两条能量分支

Dirac 自由波包的颤动

释放一个自由 Dirac 波包，观察概率流反向，再只制备正能量分量。拖动时间查看完整演化，对独立制备分别采样位置和速度。

无量纲一维量子模拟器。旋量的两个分量并不等于两条能量分支；密度和概率流来自同一演化状态。不模拟真实电子轨迹、量子场或粒子对产生。

向右流向左流

平均速度

0

高度：密度的 18 倍 · 波带宽度为示意延展 · 箭头：局部流方向 · 金色：观察门

0

模型 → 独立重复制备 → 原始记录

把现象变成证据。

500 次位置测量与另外 500 次速度测量使用不同的独立制备。这些是理想模拟记录，不是联合测量，也不是粒子轨迹。

记录的平均位置

\text{—}

记录的平均速度

\text{—}

记录的门后占据

\text{—}

数值归一误差

\text{—}

01 / 模型

整段演化，一眼看见

横轴位置，向下为时间，亮度代表密度，浅色线为模型均值。点击选择时间与观察门；方向键可移动，Shift 加大步长。

$xE_0/(\hbar c)$ · $tE_0/\hbar$

02 / 观测

同一帧，独立采样。

青色为模型密度，金色柱为记录的位置频率，珊瑚色线为观察门。计数并不重建概率流。

移动观察门

0

03 / 读懂原因

中心颤动，速度变号。

青线为模型平均位置，珊瑚线为独立纵轴的模型平均速度；金点为样本均值与一倍标准误。

04 / 能量分支

两条分支，一个旋量。

横轴动量，纵轴能量。点大小表示各分支的初始谱权重，是视觉缩放，不是另一条概率轴。

0

$pc/E_0$ · $E/E_0$

最近 40 条原始记录

序号	测量	结果

模型、单位与边界

选定任意模拟器能标，位置、动量、时间分别采用下列单位，模拟速度为一。这里是一维旋量场，不是三维粒子轨迹。

x_{\rm unit}=\frac{\hbar c}{E_0},\quad p_{\rm unit}=\frac{E_0}{c},\quad t_{\rm unit}=\frac{\hbar}{E_0}

i\partial_t\psi=(-i\sigma_x\partial_x+\mu\sigma_z+V)\psi,\quad \mu=mc^2/E_0

\rho=\psi^\dagger\psi,\quad j=\psi^\dagger\sigma_x\psi,\quad \partial_t\rho+\partial_x j=0

P_\pm(p)=\frac12\left(I\pm\frac{p\sigma_x+\mu\sigma_z}{\sqrt{p^2+\mu^2}}\right)

每个 Fourier 模精确自由演化。初始高斯波包使用所选旋量混合与相位；能量投影在演化前施加并重新归一，改变的是制备态，而非删去一个视觉图层。

长度 128 的周期区间上使用 1024 点，画面显示其中的裁剪窗口。下面的边缘概率和归一误差监测数值边界。位置记录为网格中心；采样误差不包括离散误差或真实实验噪声。

0

平滑图像始终表示模型，不是由显示的样本重建。观察门是无扰动的分析边界。不模拟粒子对产生、探测效率或离子阱硬件。

Gerritsma et al. · Dirac simulation (2010) · Gerritsma et al. · Klein simulation (2011)

先抓重点

核心问题: 没有外力，它仍在颤动。
一句话直觉: 能量分支是依赖动量的旋量，分支间干涉给平均速度带来振荡项。

核心数学模型

演化

i\partial_t\psi=(p\sigma_x+\mu\sigma_z+V)\psi

无量纲位置、动量和时间由任意模拟器能标定义；速度算符为第一个 Pauli 矩阵。

能量分支

E_\pm(p)=V\pm\sqrt{p^2+\mu^2}

对每个动量投影到一条分支会改变初态，不是隐藏一个旋量分量。

概率守恒

\partial_t\rho+\partial_xj=0,\quad j=2\operatorname{Re}(\psi_1^*\psi_2)

密度和概率流由同一旋量计算；观察门不会坍缩或吸收波包。

常见难点

画面代表什么

容易误解密度波带描绘真实粒子轨迹，负能量证明产生了粒子对。

正确理解无量纲一维量子模拟器。旋量的两个分量并不等于两条能量分支；密度和概率流来自同一演化状态。不模拟真实电子轨迹、量子场或粒子对产生。

动手实验

01
先作预测
播放「让波包颤动」，观察箭头方向改变。
应该观察到： 即使没有势场，中心与平均速度也会振荡。
02
改变原因
切换「只留正能量」，再尝试「把质量归零」。
应该观察到： 单条能量分支的平均速度恒定；无质量手性波包平移而不颤动。
03
采集与比较
选择一帧，采集 500 次位置与另外 500 次速度；定格后改变制备，再恢复。
应该观察到： 直方图和样本均值在采样不确定性内趋近模型预测，CSV 包含每次原始结果。