DIRAC 动力学 / 两条能量分支

Dirac 自由波包的颤动

没有外力，自由 Dirac 波包为什么还会颤动？ 因为它同时含有正能和负能成分。两者之间的干涉项让平均速度来回振荡，这就是 Zitterbewegung。只用正能成分搭波包，干涉项没了，颤动也就停了。

放出一个自由 Dirac 波包，看它的概率流来回反向；再制备一个只含正能量的波包。拖动时间轴看完整的演化，位置和速度分别在各自重新制备的波包上采样。

这是无量纲的一维量子模拟器。旋量的两个分量不是两条能量分支。位置密度和概率流都从同一个演化态算出。这里不模拟真实电子的轨迹、量子场，也不模拟粒子对产生。

向右流向左流

平均速度

0

高度：密度的 18 倍 · 波带宽度为示意延展 · 箭头：局部流方向 · 金色：观察门

0

模型 → 独立重复制备 → 原始记录

把现象变成证据。

500 次位置测量与另外 500 次速度测量使用不同的独立制备。这些是理想模拟记录，不是联合测量，也不是粒子轨迹。

记录的平均位置

\text{—}

记录的平均速度

\text{—}

记录的门后占据

\text{—}

数值归一误差

\text{—}

01 / 模型

整段演化，一眼看见

横轴位置，向下为时间，亮度代表密度，浅色线为模型均值。点击选择时间与观察门；方向键可移动，Shift 加大步长。

$xE_0/(\hbar c)$ · $tE_0/\hbar$

02 / 观测

同一帧，独立采样。

青色为模型密度，金色柱为记录的位置频率，珊瑚色线为观察门。计数并不重建概率流。

移动观察门

0

03 / 读懂原因

中心颤动，速度变号。

青线为模型平均位置，珊瑚线为独立纵轴的模型平均速度；金点为样本均值与一倍标准误。

04 / 能量分支

两条分支，一个旋量。

横轴动量，纵轴能量。点大小表示各分支的初始谱权重，是视觉缩放，不是另一条概率轴。

0

$pc/E_0$ · $E/E_0$

最近 40 条原始记录

序号	测量	结果

模型、单位与边界

任选一个模拟器能量标度后，位置、动量和时间分别用下面的单位，模拟中的速度为一。这里算的是一维旋量场，不是三维粒子轨迹。

x_{\rm unit}=\frac{\hbar c}{E_0},\quad p_{\rm unit}=\frac{E_0}{c},\quad t_{\rm unit}=\frac{\hbar}{E_0}

i\partial_t\psi=(-i\sigma_x\partial_x+\mu\sigma_z+V)\psi,\quad \mu=mc^2/E_0

\rho=\psi^\dagger\psi,\quad j=\psi^\dagger\sigma_x\psi,\quad \partial_t\rho+\partial_x j=0

P_\pm(p)=\frac12\left(I\pm\frac{p\sigma_x+\mu\sigma_z}{\sqrt{p^2+\mu^2}}\right)

每个 Fourier 模都精确地自由演化。初始高斯波包采用所选的旋量混合和相位；能量投影在演化之前施加，再重新归一，它改变的是制备态本身，不只是隐藏一个图层。

在长度 128 的周期区间上取 1024 个点，画面只显示其中一段。下面的边缘概率和归一误差用来监测数值边界。位置记录取网格中心；采样误差不包括离散化误差，也不包括真实实验噪声。

0

平滑图像始终表示模型，不是由显示的样本重建。观察门是无扰动的分析边界。不模拟粒子对产生、探测效率或离子阱硬件。

Gerritsma et al. · Dirac simulation (2010) · Gerritsma et al. · Klein simulation (2011)

从模型回到证据

只留一条能量分支，还会颤动吗？

操作: 比较「让波包颤动」与「只留正能量」。拖动演化进度，再用两组重新制备的样本，分别测量位置和速度。
记录: 把样本均值和模型期望值比较。去掉两条能量分支之间的干涉，自由平均速度就不再振荡。旋量的两个分量和两条能量分支是两回事。
边界: 速度用无量纲单位，单位速度取一。这是两分量的一维类比模型，补充文中的四分量电子理论；它不观测真实电子的轨迹，不求解氢谱，也不计算磁矩反常。

\begin{aligned}H_0&=p\sigma_x+\mu\sigma_z\\v&=\sigma_x\end{aligned}

模型来源：Gerritsma et al. · Dirac simulation (2010)

Dirac 电子：成功方程里尚未结束的故事

先抓重点

核心问题: 没有外力，自由 Dirac 波包为什么还会颤动？
一句话直觉: 每条能量分支都有自己的旋量，并且随动量变化。两条分支一干涉，平均速度里就多出一个振荡项。

核心数学模型

一维 Dirac 方程

i\partial_t\psi=(p\sigma_x+\mu\sigma_z+V)\psi

位置、动量和时间都是无量纲的，以模拟器里任意选定的能标为单位。速度算符是第一个 Pauli 矩阵。

两条能量分支

E_\pm(p)=V\pm\sqrt{p^2+\mu^2}

在每个动量上只保留一条分支，得到的是另一个初态，不等于把一个旋量分量藏起来。

概率守恒

\partial_t\rho+\partial_xj=0,\quad j=2\operatorname{Re}(\psi_1^*\psi_2)

密度和概率流都从同一个旋量算出。观察门不会让波包坍缩，也不会吸收它。

常见难点

画面代表什么

容易误解密度波带画的是真实粒子的轨迹，出现负能量就说明产生了粒子对。

正确理解这是无量纲的一维量子模拟器。旋量的两个分量不是两条能量分支。位置密度和概率流都从同一个演化态算出。这里不模拟真实电子的轨迹、量子场，也不模拟粒子对产生。

动手实验

01
先预测
播放「让波包颤动」，观察箭头方向改变。
你会看到： 即使没有势场，中心与平均速度也会振荡。
02
改变条件
切换「只留正能量」，再尝试「把质量归零」。
你会看到： 只剩一条分支时，平均速度恒定；无质量的手性波包只平移，不颤动。
03
采集并比较
选一帧，采集 500 次位置，再另外采集 500 次速度。定格结果，改变制备，再恢复。
你会看到： 直方图和样本均值会逼近模型预测，偏差在采样不确定性之内。每一次的原始结果都在 CSV 里。