DIRAC 动力学 / 势垒重新开门

Klein 波包与超高势垒

让正能量波包撞向平滑势垒。比较能隙中的阻挡与更高势垒开放的负能量传播通道。移动观察门，并对独立重复制备采集位置。

给定静电势中的单粒子一维 Dirac 类比模型，不是量子场模拟。势垒边缘平滑；有限时刻的区域概率不等于渐近反射率或透射率。不含粒子对产生、无序、耗散或真实离子阱装置。

向右流向左流势垒

观察门后方

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高度：密度的 18 倍 · 波带宽度为示意延展 · 箭头：局部流方向 · 金色：观察门

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模型 → 独立重复制备 → 原始记录

把现象变成证据。

500 次位置测量与另外 500 次速度测量使用不同的独立制备。这些是理想模拟记录，不是联合测量，也不是粒子轨迹。

记录的平均位置

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记录的平均速度

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记录的门后占据

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数值归一误差

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01 / 模型

整段演化，一眼看见

横轴位置，向下为时间，亮度代表密度，浅色线为模型均值。点击选择时间与观察门；方向键可移动，Shift 加大步长。

$xE_0/(\hbar c)$ · $tE_0/\hbar$

02 / 观测

同一帧，独立采样。

青色为模型密度，金色柱为记录的位置频率，珊瑚色线为观察门。计数并不重建概率流。

移动观察门

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03 / 读懂原因

同一个波包，三个区域。

青线为右侧，珊瑚线为左侧，灰线为势垒邻域，三者之和为一。固定区域边界位于各名义势垒边缘外两个长度单位。

04 / 能量分支

势垒为什么重新开门。

横轴位置，纵轴能量。阴影为局部能隙；金线为所选中心动量对应的能量，是有限带宽波包的参考值。

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$xE_0/(\hbar c)$ · $E/E_0$

最近 40 条原始记录

序号	测量	结果

模型、单位与边界

选定任意模拟器能标，位置、动量、时间分别采用下列单位，模拟速度为一。这里是一维旋量场，不是三维粒子轨迹。

x_{\rm unit}=\frac{\hbar c}{E_0},\quad p_{\rm unit}=\frac{E_0}{c},\quad t_{\rm unit}=\frac{\hbar}{E_0}

i\partial_t\psi=(-i\sigma_x\partial_x+\mu\sigma_z+V)\psi,\quad \mu=mc^2/E_0

\rho=\psi^\dagger\psi,\quad j=\psi^\dagger\sigma_x\psi,\quad \partial_t\rho+\partial_x j=0

V(x)=\frac{V_0}{2}\left[\tanh\frac{x+d/2}{0.4}-\tanh\frac{x-d/2}{0.4}\right]

使用幺正 Strang 分裂，时间步长不超过 0.025。平台内相对势能的能量平方超过质量项平方时，局部传播通道开放。有限波包和两个平滑界面还会引入反射、共振与延迟。

长度 128 的周期区间上使用 1024 点，画面显示其中的裁剪窗口。下面的边缘概率和归一误差监测数值边界。位置记录为网格中心；采样误差不包括离散误差或真实实验噪声。

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平滑图像始终表示模型，不是由显示的样本重建。观察门是无扰动的分析边界。不模拟粒子对产生、探测效率或离子阱硬件。

Gerritsma et al. · Dirac simulation (2010) · Gerritsma et al. · Klein simulation (2011)

先抓重点

核心问题: 势垒更高，通道却重开。
一句话直觉: 势能同时平移两条分支；更高平台能让波包能量进入负能量分支，而不再位于能隙中。

核心数学模型

演化

i\partial_t\psi=(p\sigma_x+\mu\sigma_z+V)\psi

无量纲位置、动量和时间由任意模拟器能标定义；速度算符为第一个 Pauli 矩阵。

能量分支

E_\pm(p)=V\pm\sqrt{p^2+\mu^2}

平台能隙与负分支解释三个预设；界面和有限波包带宽仍影响透射。

概率守恒

\partial_t\rho+\partial_xj=0,\quad j=2\operatorname{Re}(\psi_1^*\psi_2)

密度和概率流由同一旋量计算；观察门不会坍缩或吸收波包。

常见难点

画面代表什么

容易误解密度波带描绘真实粒子轨迹，负能量证明产生了粒子对。

正确理解给定静电势中的单粒子一维 Dirac 类比模型，不是量子场模拟。势垒边缘平滑；有限时刻的区域概率不等于渐近反射率或透射率。不含粒子对产生、无序、耗散或真实离子阱装置。

动手实验

01
先作预测
选择「落入能隙，挡住」，从出发拖到最后一帧。
应该观察到： 大部分概率返回左侧，界面一直显示有限时刻的区域占据。
02
改变原因
用第二个预设抬高势垒，再用第三个预设移除质量。
应该观察到： 高势垒允许负能量通道传播；无质量手性极限中没有反射。
03
采集与比较
选择一帧，采集 500 次位置与另外 500 次速度；定格后改变制备，再恢复。
应该观察到： 直方图和样本均值在采样不确定性内趋近模型预测，CSV 包含每次原始结果。