DIRAC 动力学 / 势垒重新开门

Klein 波包与超高势垒

为什么势垒更高，Dirac 波包反而能穿过去？ 因为势垒够高时，里面会打开一条负能通道。势垒抬高，里面的两支能量分支也跟着上移；平台够高时，波包的能量正好落在势垒内的负能分支上，就有了穿过去的路。势垒低一些，反倒只会把波包弹回来。这就是 Klein 隧穿。

让正能量波包撞向一道边缘平滑的势垒。先看波包落进能隙被挡回，再把势垒抬高，看负能量通道打开、波包继续传播。移动观察门，在一次次独立制备中采集位置。

这是一维单粒子的 Dirac 类比模型，静电势事先给定，不是量子场模拟。势垒边缘平滑。某个有限时刻各区域里的概率，不等于长时间后的反射率或透射率。模型不含粒子对产生、无序和耗散，也不对应真实的离子阱装置。

向右流向左流势垒

观察门后方

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高度：密度的 18 倍 · 波带宽度为示意延展 · 箭头：局部流方向 · 金色：观察门

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模型 → 独立重复制备 → 原始记录

把现象变成证据。

500 次位置测量与另外 500 次速度测量使用不同的独立制备。这些是理想模拟记录，不是联合测量，也不是粒子轨迹。

记录的平均位置

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记录的平均速度

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记录的门后占据

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数值归一误差

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01 / 模型

整段演化，一眼看见

横轴位置，向下为时间，亮度代表密度，浅色线为模型均值。点击选择时间与观察门；方向键可移动，Shift 加大步长。

$xE_0/(\hbar c)$ · $tE_0/\hbar$

02 / 观测

同一帧，独立采样。

青色为模型密度，金色柱为记录的位置频率，珊瑚色线为观察门。计数并不重建概率流。

移动观察门

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03 / 读懂原因

一个波包分到三个区域。

青线为右侧，珊瑚线为左侧，灰线为势垒邻域，三者之和为一。固定区域边界位于各名义势垒边缘外两个长度单位。

04 / 能量分支

势垒为什么重新开门。

横轴位置，纵轴能量。阴影为局部能隙；金线为所选中心动量对应的能量，是有限带宽波包的参考值。

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$xE_0/(\hbar c)$ · $E/E_0$

最近 40 条原始记录

序号	测量	结果

模型、单位与边界

任选一个模拟器能量标度后，位置、动量和时间分别用下面的单位，模拟中的速度为一。这里算的是一维旋量场，不是三维粒子轨迹。

x_{\rm unit}=\frac{\hbar c}{E_0},\quad p_{\rm unit}=\frac{E_0}{c},\quad t_{\rm unit}=\frac{\hbar}{E_0}

i\partial_t\psi=(-i\sigma_x\partial_x+\mu\sigma_z+V)\psi,\quad \mu=mc^2/E_0

\rho=\psi^\dagger\psi,\quad j=\psi^\dagger\sigma_x\psi,\quad \partial_t\rho+\partial_x j=0

V(x)=\frac{V_0}{2}\left[\tanh\frac{x+d/2}{0.4}-\tanh\frac{x-d/2}{0.4}\right]

使用幺正 Strang 分裂，时间步长不超过 0.025。平台内相对势能的能量平方超过质量项平方时，局部传播通道开放。有限波包和两个平滑界面还会引入反射、共振与延迟。

在长度 128 的周期区间上取 1024 个点，画面只显示其中一段。下面的边缘概率和归一误差用来监测数值边界。位置记录取网格中心；采样误差不包括离散化误差，也不包括真实实验噪声。

0

平滑图像始终表示模型，不是由显示的样本重建。观察门是无扰动的分析边界。不模拟粒子对产生、探测效率或离子阱硬件。

Gerritsma et al. · Dirac simulation (2010) · Gerritsma et al. · Klein simulation (2011)

从模型回到证据

抬高势垒，为什么通道反而重开？

操作: 比较「落入能隙，挡住」和「抬高势垒，重开」两个预设。在同一个末时刻采集位置样本，再移动观察门。
记录: 把观察门右侧的样本比例，和模型在这一有限时刻给出的占据比较。观察门只是分析用的阈值，移动它不会丢掉已采集的样本。
边界: 这里的平滑有限势垒会平移一维 Dirac 分支。所引的离子阱实验用的是线性势，本 Lab 不重现它的数据或硬件。有限时刻的占据不同于渐近透射率；这是单粒子计算，没有粒子对产生。

E_\pm(p)=V\pm\sqrt{p^2+\mu^2}

模型来源：Gerritsma et al. · Klein simulation (2011)

Dirac 电子：成功方程里尚未结束的故事

先抓重点

核心问题: 为什么势垒更高，Dirac 波包反而能穿过去？
一句话直觉: 势能把两条分支一起平移。平台更高时，波包的能量可以落进负能量分支，不再落在能隙里。

核心数学模型

一维 Dirac 方程

i\partial_t\psi=(p\sigma_x+\mu\sigma_z+V)\psi

位置、动量和时间都是无量纲的，以模拟器里任意选定的能标为单位。速度算符是第一个 Pauli 矩阵。

两条能量分支

E_\pm(p)=V\pm\sqrt{p^2+\mu^2}

平台上的能隙和负能量分支，可以解释三个预设的结果。界面和波包的有限带宽，仍会影响透射多少。

概率守恒

\partial_t\rho+\partial_xj=0,\quad j=2\operatorname{Re}(\psi_1^*\psi_2)

密度和概率流都从同一个旋量算出。观察门不会让波包坍缩，也不会吸收它。

常见难点

画面代表什么

容易误解密度波带画的是真实粒子的轨迹，出现负能量就说明产生了粒子对。

正确理解这是一维单粒子的 Dirac 类比模型，静电势事先给定，不是量子场模拟。势垒边缘平滑。某个有限时刻各区域里的概率，不等于长时间后的反射率或透射率。模型不含粒子对产生、无序和耗散，也不对应真实的离子阱装置。

动手实验

01
先预测
选择「落入能隙，挡住」，从出发拖到最后一帧。
你会看到： 大部分概率回到左侧。界面上显示的区域占据，始终是当前这一有限时刻的值。
02
改变条件
用第二个预设抬高势垒，再用第三个预设移除质量。
你会看到： 高势垒里打开了负能量通道，波包可以传播过去；无质量手性极限下完全没有反射。
03
采集并比较
选一帧，采集 500 次位置，再另外采集 500 次速度。定格结果，改变制备，再恢复。
你会看到： 直方图和样本均值会逼近模型预测，偏差在采样不确定性之内。每一次的原始结果都在 CSV 里。