Q037 · 由测量重建光的量子态

Homodyne 量子态重建

能从探测器的噪声，画出一个量子态吗？ 能，探测器的噪声本身就是数据。参考光（本振）每取一个相位，就测到光场一个正交分量的分布，相当于量子态的一个投影。许多投影拼起来，能重建出它的 Wigner 函数，也就是相空间里的一张图。检验这张图，要看它能不能预测重建时没用过的相位。

转动本振相位，沿不同方向测量光场，再只凭这些读数重建 Wigner 函数。最后换一个重建时没用过的相位，看它预测得准不准。

采集记录 $\text{—}$

测量结果 $\text{—}$

01 / 把噪声变成一幅图

只测一个方向，看到的只是一道投影。

扫描本振相位，用采集到的投影重建，再换一个新相位验证。采集之前，重建区保持空白。

信号与强本振在平衡分束器汇合，两只光电二极管送入差分放大器。线条表示光路，不是光子轨迹。

本振相位

\theta/{}^\circ

33.75

拖动选择正交分量。扫描记录 24 个相位，单独的探测读数不会进入重建。

可以开始采集。

做一组对照

制备态光子存活率

\eta

0.9

压缩强度

r

0.65

状态方向

\varphi/{}^\circ

25

相干振幅

|\alpha|

1.2

采样种子

s_0

37

改变制备态或损失前先保存；转动本振保留记录。

模型只有一个光学模式，本振理想且足够强，采用平衡探测，真空方差取二分之一。损耗发生在探测之前。每个读数都是模拟的归一化差分信号。只用有限个角度做滤波反投影，图上会出现波纹和虚假的负值区；这种方法也不保证重建出来的是物理上允许的态。

02 / 探测器说了什么？

用新投影，检验旧重建。

显示理想模型

$q_\theta$ · 蓝柱：这个相位的探测记录；橙线：你的重建图在这个相位的投影；虚线：可选的理想模型。滤波后的预测会因波纹出现负值，所以不能当作采样概率；直方图的尾部保留在 CSV 中。

留出读数

\text{—}

\text{—}

让数据画出量子态。

先采集投影。

$(q,p)\in[-5,5]^2$ · 横轴为位置正交分量，纵轴为动量正交分量。蓝正红负，所有样本使用相同色标。

\text{—}

24 个采集投影

$\theta:0\to172.5^\circ,\quad q_\theta:-5\to5$ · 相位向右递增，正交分量向上递增；每扫一次，每列重新制备 300 次。

重建带宽

k_c

4

带宽越高，越能分辨细节，但噪声也被放大。改动后，可以用同一组数据重新重建。带宽有限会让图变模糊，角度和计数有限会产生波纹；出现负像素本身并不能证明非经典性。

04 / 把证据留下来

保存一个结果，然后只改一项。

最多保存八组样本。恢复后可以查看；再次采集会开始新记录。每条保存的原始记录只导出一次。用同一个种子会重现同样的抽样，不能算独立证据。

物理模型、适用范围与主要来源

$q_\theta=(ae^{-i\theta}+a^\dagger e^{i\theta})/\sqrt2,\quad [q,p]=i$

$V_\theta=\tfrac12[1-\eta+\eta(e^{-2r}\cos^2(\theta-\varphi)+e^{2r}\sin^2(\theta-\varphi))]$

刻度由理想的真空标定确定。记录值是归一化的光电流差，不分别模拟两只二极管的计数。本振取无限强的极限；不考虑电子噪声、饱和、本振强度有限和模式失配。重建不反推损失，描述的是到达探测器的态。

网格为六十一乘六十一，取二十四个等距相位，Fourier ramp 滤波硬截止。滤波投影直接用原始样本，插值步长 0.04。重建图和留出投影都不把负值截掉，也不重新归一化；不会出现负概率事件。

Lvovsky & Raymer · II A–B, III A 1, V A

从模型回到证据

重建能预测一个新投影吗？

操作: 扫描二十四个本振相位，完成重建。再在已扫描的相位之间选一个新相位，采集五百次新的探测读数。
记录: 把新采的直方图，和重建结果在这个相位上预测的投影比较。这批探测读数从不参与重建。
边界: 文中做的是偏振比特层析，这里测的是连续变量光场，两者互为补充。Lab 用滤波反投影重建，不用最大似然；重建的是探测到的态，损耗没有反推回去。单凭一块负值区域，不足以构成统计认证。

q_\theta=\frac{ae^{-i\theta}+a^\dagger e^{i\theta}}{\sqrt{2}}

模型来源：Lvovsky & Raymer · Optical tomography, §§ II–III

从已标定的计数重建光子态

先抓重点

核心问题: 能从探测器的噪声，画出一个量子态吗？
一句话直觉: 重建结果要能预测一次它没见过的测量，才算可信。

核心数学模型

旋转的正交分量

q_\theta=q\cos\theta+p\sin\theta,\quad [q,p]=i

强本振的相位决定测哪个方向。理想真空的方差是二分之一。

Wigner 函数的投影

p_\theta(x)=\int W(x\cos\theta-t\sin\theta,x\sin\theta+t\cos\theta)\,dt

即使 Wigner 函数出现负值，每个投影仍是非负概率密度。

有限带宽的逆 Radon 变换

\widehat W(q,p)=\frac{1}{2\pi M}\sum_{j=1}^M\frac{1}{n_j}\sum_{\ell=1}^{n_j}K_{k_c}(q\cos\theta_j+p\sin\theta_j-x_{j\ell})

核函数只积分到选定的空间频率截止。它只用扫描读数，不知道制备的是哪个态。

常见难点

单凭一张图证明不了什么

容易误解重建图里出现负值像素，就说明这是非经典态。

正确理解截止过硬、角度取样有限、数据量有限，都可能带来负值波纹。可以重复采集，改变截止频率再看。本实验不给出非经典性的置信度。

改设置不会改动已存数据

容易误解移动滑块能改善已经记录的数据。

正确理解改变制备会重新开始一组样本；已保存的样本保留原来的设置和原始读数。

动手实验

01
先预测
分别试真空和压缩真空，先猜转动本振时，正交分量的分布会变宽还是变窄。
你会看到： 先别打开可选的模型参考。
02
采集并保存
扫完全部 24 个相位并重建，再在选定的新相位上采集 500 个读数。
你会看到： 新相位上的直方图从不参与重建。
03
看它在哪里失效
选单光子并重建，再加入损耗。另做一次：不采新数据，只改重建截止频率。
你会看到： 损耗改变的是态本身；截止频率只改变估计方法；读数有限，还会带来采样噪声。

Homodyne 量子态重建

用新投影，检验旧重建。

让数据画出量子态。

保存一个结果，然后只改一项。

从模型回到证据