L31 · 无镜面反馈

随机激光

散射能把光留得够久，让它形成激光吗？ 散射确实能做到。光被反复散射，在受泵浦的介质里绕很长的路，一路都在获得增益，不用反射镜也能越过阈值。不过，漫射光整体变强，和靠干涉挑出来的随机共振，是两回事。

用多次散射代替镜子。改变样品大小、增益和泵浦核心，记录光怎样增长、饱和，又怎样扩散逃出样品。

已求解光学阈值候选 $\text{—}$

所选相干模式波长 $\text{—}$

所选出射模式阈值 $\text{—}$

所选模式参与长度占比 $\text{—}$

出射边界残差 $\text{—}$

未饱和增益超过阈值的候选数 $\text{—}$

模型时间 $\text{—}$

光学厚度 $\text{—}$

扩散系数 $\text{—}$

完全反转增益阈值 $\text{—}$

初始主模增长率 $\text{—}$

第二扩散增长率 $\text{—}$

第三扩散增长率 $\text{—}$

平均归一化能量 $\text{—}$

总归一化逸出通量 $\text{—}$

当前净能量增长率 $\text{—}$

中心激发比例 $\text{—}$

采集时间样本 $\text{—}$

初始增益状态 $\text{—}$

扩散近似 $\text{—}$

探索机制

散射能把光留得够久，让它形成激光吗？

装置：球形或相干层

b

0

层折射率无序幅度

\delta n

0.65

层结构实现种子

s

4

层结构完全反转增益

g_w

3000\,\mathrm{cm^{-1}}

按阈值升序选择层状模

j_w

0

球形样品半径

R

1\,\mathrm{mm}

球形输运平均自由程

\ell_t

0.05\,\mathrm{mm}

球形完全反转增益

g_0

0.8\,\mathrm{mm^{-1}}

泵浦相对衰减

p

2

球形核心或受泵层比例

a/R

0.85

球形背景吸收

\alpha

0.02\,\mathrm{mm^{-1}}

细节：样品、泵浦、收集器

j

0

比较小泵浦核心和全体积泵浦。初始增长率为正，说明未饱和状态不稳定，但输出最终仍会饱和。扩散预测不了由干涉选出的谱峰。

实验用两个分开定义的样品，比较非相干反馈和相干反馈。球形样品用径向有限体积法计算光强扩散，反转按规定方式饱和，外边界完全吸收。能量和整个球面的逸出量都是归一化的，不是瓦特，也不是单个探测器的计数。三个扩散本征向量有正有负，只是光强的一组基。相干样品是三十二层无序介质，画面上的相对层厚和折射率，与标量传输矩阵计算所用的相同。外部介质和各层平均折射率都是一点八，层厚以微米计。先在无增益时做有限的波长扫描，为阻尼 Newton 求解提供初值；求解器在两端只有出射光的条件下，同时求出实频率和正增益。求得的光场包含干涉，阈值和参与长度随无序改变。它们只是已求到的线性阈值候选，不是完整频谱，也不预测饱和后的多模行为。泵浦作用在中央各层，这个比例单独定义，不沿用球形样品里的几何含义。计算假设一维、正入射、标量无色散增益和固定不动的层，因此不包括三维无序、矢量偏振和模式之间的非线性竞争。光学计算不是扩散逸出数据的重建。运动标记只是示意。

先抓重点

核心问题: 散射能把光留得够久，让它形成激光吗？
一句话直觉: 扩散能解释困在样品里的光怎样整体增长；尖锐的随机共振来自干涉，扩散预测不了。

核心数学模型

光能边扩散边增长

\begin{aligned}\partial_t W&=D\nabla^2W+v(g_0n-\alpha)W+s n\\D&=v\ell_t/3\end{aligned}

散射越强，扩散系数越小，光逃出得越慢。

反转会饱和

\begin{aligned}\dot n&=\frac{p(r)(1-n)-n(1+W)}{\tau_n}\\p(r)&=p_0\quad(r<a)\end{aligned}

这里选用一条归一化速率方程来限制增益，它不是针对某种材料的量子模型。

均匀泵浦球的阈值

\begin{aligned}W(R)&=0\\\lambda_1&=v(g-\alpha)\\&\quad-\frac{D\pi^2}{R^2}\\g_{\rm th}&=\alpha+\frac{\pi^2\ell_t}{3R^2}\end{aligned}

这里假设边界完全吸收，忽略外推长度。公式用的是未饱和的有效增益；“完全反转增益阈值”还要计入初始激发比例与泵浦核心范围，由数值本征值求出。

光强的空间模式

\begin{aligned}\mathcal L&=D\nabla^2+v(g-\alpha)\\\mathcal L\Phi_j&=\lambda_j\Phi_j\\\Phi_j(r)&\propto\sin(j\pi r/R)/r\end{aligned}

正弦形式只适用于均匀、未饱和的增益；局部泵浦时改用数值本征向量。高阶基可正可负，物理光强仍非负。

能量平衡与表面逸出

\begin{aligned}\bar U&=\frac{3}{R^3}\int_0^R Wr^2\,dr\\\dot{\bar U}&=\bar G+\bar S-\bar A-\bar F\\\bar F&=-\frac{3D}{R}\left.\partial_rW\right|_R\end{aligned}

页面把能量和整个表面逸出都除以球体体积。相邻单元间的通量互相抵消，最后留下的外边界通量再除以体积，就是输出读数。

扩散近似何时成立

\begin{aligned}R/\ell_t&\gg1\\\max(g_0,\alpha)\ell_t&\ll1\end{aligned}

散射太弱时，扩散图像不再成立；模型也不会额外加入相干共振来弥补。

单独的相干层状样品

\begin{aligned}E_j(z)&=A_je^{ikn_jz}\\&\quad+B_je^{-ikn_jz}\\n_j&=n_{j,r}-ig_j/(2k)\\\binom{A_R}{B_R}&=M(k,g)\binom{A_L}{B_L}\end{aligned}

种子指定各层折射率和厚度，层间界面反射光，层内传播积累相位。这个样品不是用光学方法重建扩散球。

只有出射光的阈值模式

\begin{aligned}A_L&=B_R=0\\M_{22}(k,g_{\rm th})&=0\\\mathcal P&=\frac{(\int |E|^2dz)^2}{L\int |E|^4dz}\end{aligned}

求解器寻找一个实频率和一个正增益，同时满足两端的出射边界条件。参与比例衡量模式在空间里有多集中。求到的只是候选模式，既不完整，也没有考虑饱和。

常见难点

随机激光一定有散斑

容易误解平滑的扩散图里应该出现随机的窄谱峰。

正确理解球形样品显示的是系综平均光强怎样扩散。要找干涉选出的阈值模式，请切换到单独的相干层状样品；这些模式不是从球形数据里重建的。

增长率为正，光就无限增长

容易误解过了线性阈值，输出就会无限增长。

正确理解受激辐射消耗局部反转，增益随之下降，输出趋于饱和。

动手实验

01
跨过阈值
比较“扩散反馈”和“阈值以下”。每个预设自动记录二十纳秒的演化；画面回放示意表面逸出。
你会看到： 初始增长率为正时，光先增长，最后稳定在有限的饱和输出上。
02
改变光的停留时间
增益不变，缩小样品或减弱散射。
你会看到： 光逃得更快，阈值升高。
03
改变泵浦区域
比较“小泵浦核心”和“全体积泵浦”两个预设。
你会看到： 外层没有泵浦时，主空间模要更高的增益才能维持。
04
观察相干模式
展开“高级参数”，点“显示相干层状样品”。选一个模式，再改变层种子或受泵比例；独立的光学计算会自动更新。
你会看到： 每个模式有自己的波长、阈值和参与比例。把这些量和出射边界残差，与装置里画出的层结构对照。