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Sandbox Physics

L11 · 形状与模式选择

激光横模

演化有限组 Hermite–Gaussian 或 Laguerre–Gaussian 模式。移动泵浦与腔轴、收紧光阑，把预测输出与理想场参考进行比较。

交互模型激光横模
以衰减时间为单位的演化时间—\text{—}
基模束腰半径—\text{—}
相邻横模阶数的频率间距—\text{—}
未饱和时超过阈值的候选模式—\text{—}
功率占比至少百分之一的模式—\text{—}
主导输出模式—\text{—}
归一化腔内功率—\text{—}
最大模式功率份额—\text{—}
水平输出光束质量—\text{—}
垂直输出光束质量—\text{—}
所选理想参考—\text{—}
理想参考泵浦阈值—\text{—}
理想参考两次截断估计—\text{—}
水平参考光束质量—\text{—}
垂直参考光束质量—\text{—}
主导模式的两次截断估计—\text{—}

物理教程

衍射给出家族，泵浦与损耗选出赢家

背景纵模选择振荡频率，横模规定球面镜腔中自我再现的场形状。节点与相位来自近轴衍射。

为什么值得理解明亮的甜甜圈不是另一种激光原理；它可以是被供给增益和移除光的位置所选择的空间模式。

先抓重点

核心问题
只改变泵浦足迹，能改变胜出的空间模式吗？
一句话直觉
横模阈值取决于增益重叠及光阑损耗。模式增长后，局域饱和改变竞争；一张理想参考图不能证明模式在振荡。

核心数学模型

直角坐标场

umn∝Hm(2X)Hn(2Y)e−(X2+Y2)X=x/w,Y=y/w\begin{aligned}u_{mn}&\propto H_m(\sqrt2 X)\\&\quad H_n(\sqrt2 Y)e^{-(X^2+Y^2)}\\X&=x/w,\quad Y=y/w\end{aligned}

Hermite 多项式产生矩形节点。实际实现使每个平面的总功率积分归一化。

圆对称场

upℓ∝s∣ℓ∣/2Lp∣ℓ∣(s)e−s/2eiℓϕs=2r2/w2\begin{aligned}u_{p\ell}&\propto s^{|\ell|/2}L_p^{|\ell|}(s)\\&\quad e^{-s/2}e^{i\ell\phi}\\s&=2r^2/w^2\end{aligned}

Laguerre 多项式决定径向节点，方位相位绕中心旋转。本页圆对称家族选取正向螺旋度。

镜面边界与横模间距

zR=12L(2R−L)w02=λzR/πΔν⊥=c2πL 2arctan⁡L2zR\begin{aligned}z_R&=\tfrac12\sqrt{L(2\mathcal R-L)}\\w_0^2&=\lambda z_R/\pi\\\Delta\nu_\perp&=\frac{c}{2\pi L}\,2\arctan\frac{L}{2z_R}\end{aligned}

对称腔固定束腰与 Gouy 相位。增加一个横模阶数使共振频率移动所示间距，不强制单个纵模阶数。

局域增益竞争

Gj=p∫Pρj1+∑lIlρl/ρ0 dAI˙j=(Gj−ℓj)Ijρ0=2/π\begin{aligned}G_j&=p\int\frac{P\rho_j}{1+\sum_l I_l\rho_l/\rho_0}\,dA\\\dot I_j&=(G_j-\ell_j)I_j\\\rho_0&=2/\pi\end{aligned}

坐标以束腰半径为单位；泵浦峰值为一，模式密度积分为一，时钟采用基准衰减时间。绝热强度投影忽略相干干涉。

光阑与阶数惩罚

Qj=∫r<aρj dAℓj=1−2ln⁡Qj0.08+ℓNNj\begin{aligned}Q_j&=\int_{r<a}\rho_j\,dA\\\ell_j&=1-\frac{2\ln Q_j}{0.08}+\ell_N N_j\end{aligned}

每个往返两次穿过光阑。积分采用未变形场；严重截断改变本征模并超出该模型。

理想模式光束质量

HG:Mx2=2m+1My2=2n+1LG:Mx2=My2=2p+∣ℓ∣+1\begin{aligned}\mathrm{HG}:\quad M_x^2&=2m+1\\M_y^2&=2n+1\\\mathrm{LG}:\quad M_x^2&=M_y^2=2p+|\ell|+1\end{aligned}

这些是二阶矩质量因子。对非相干居中模式和，每轴质量为模式质量的功率加权平均，不含相位信息。

常见难点

允许不等于振荡

容易误解显示的每个理想模式都必须出现在激光中。

正确理解模式必须克服自身损耗，并在局域饱和后竞争；参考是独立单位功率场。

甜甜圈不证明唯一相位

容易误解强度图能证明方位相位绕转。

正确理解不同混合也能产生环形。相位图属于指定的理想 LG 场，不是推断的相位测量。

光阑积分不是截断腔求解器

容易误解移除功率后本征场完全不变。

正确理解固定基底只估计模式损耗。严重截断或偏轴光阑需要场重塑及相干模式耦合，超出此投影。

动手实验

  1. 01

    窄泵浦选择中心

    把居中基模预设演化 300 个衰减时间，比较候选增益与饱和增益。

    应该观察到： 基模存活，其增益钳制在自身损耗。
  2. 02

    扩大增益足迹

    选择宽泵浦，演化 300 个衰减时间。

    应该观察到： 更多空间区域保留反转，允许多个模式携带功率。
  3. 03

    不强迫场也能产生甜甜圈

    选择环形泵浦并演化，再改变理想参考阶数或相位显示。

    应该观察到： 圆对称第一方位模式因增益重叠胜出；参考变化不改变输出状态。
  4. 04

    移动腔轴并限制光阑

    让整个腔轴相对固定泵浦及光阑平移，再选择截断预设。

    应该观察到： 增益重叠与透过率都变化。允许的模式也可能达不到阈值；输出熄灭时参考图仍存在。