L11 · 形状与模式选择

激光横模

几个横模争夺增益时，哪种光斑图样会胜出？ 和泵浦区重叠最多、在光阑上损失最少的图样，最先到达阈值。模式一旦长起来，哪里亮，哪里的增益就被吃掉，竞争格局随之改变。只挪一下泵浦光斑，胜出的模式就可能换掉。

让一小组 Hermite–Gaussian 或 Laguerre–Gaussian 模式争夺增益。移动泵浦和腔轴，收紧光阑，再把预测输出和理想参考场对比。

以衰减时间为单位的演化时间 $\text{—}$

基模束腰半径 $\text{—}$

相邻横模阶数的频率间距 $\text{—}$

未饱和时超过阈值的候选模式 $\text{—}$

功率占比至少百分之一的模式 $\text{—}$

主导输出模式 $\text{—}$

归一化腔内功率 $\text{—}$

最大模式功率份额 $\text{—}$

水平输出光束质量 $\text{—}$

垂直输出光束质量 $\text{—}$

所选理想参考 $\text{—}$

理想参考泵浦阈值 $\text{—}$

理想参考两次截断估计 $\text{—}$

水平参考光束质量 $\text{—}$

垂直参考光束质量 $\text{—}$

主导模式的两次截断估计 $\text{—}$

L11 · 横模工作台

让空间图样胜出

使用圆对称 LG 家族关闭时使用矩形 HG 模式；两族模式不会同时参与竞争。显示理想参考场相位相位用色相画在单独的理想图上，不影响输出测量。参考水平或径向阶数

m\ \text{or}\ p

0

参考垂直或方位阶数

n\ \text{or}\ \ell

0

镜间距

L

50\,\mathrm{cm}

两面镜的曲率半径

\mathcal R

100\,\mathrm{cm}

真空波长

\lambda

1064\,\mathrm{nm}

束腰光阑半径

a/w_0

2.5

泵浦径向宽度

w_P/w_0

0.6

泵浦环半径

r_P/w_0

0

水平泵浦位移

x_P/w_0

0

腔轴位移

x_c/w_0

0

峰值小信号泵浦增益

p

6

每阶额外横模损耗

\ell_N

0.08

每个设置会自动演化 300 个衰减时间，直接比较窄泵浦、宽泵浦和环形泵浦。选择理想参考不会给激光播种，也不会把它逼进那个模式。

模型取空气中对准的对称球面镜腔，用标量近轴模式描述。束腰在两镜中点。水平和垂直都是横向坐标；泵浦、光阑和轴位移都以基模束腰半径为单位。解析的 HG 和 LG 场满足近轴衍射，波前曲率与球面镜吻合。本页把光场投影到一组固定的有限模式上，不是截断腔的 Fox–Li 求解器。HG 保留水平零到三阶、垂直零到二阶；LG 保留径向零到一阶、非负方位零到三阶。每次只有一个家族参与竞争，LG 取正向螺旋度。泵浦增益在局部饱和，饱和程度由各模式强度的非相干和决定，反转库按绝热处理。基准对数往返损耗为 0.08，再加上估计的两次光阑损耗和所选的阶数惩罚。时间以基准强度衰减时间为单位，功率归一化；各模式从相等的微小种子起步，这只是数值初始条件。轴位移让整个对准的腔相对固定的泵浦和光阑平移，不是镜面倾斜模型。截断严重时，衍射会让光场变形，这种投影不包含这一点。模型不考虑热效应、相干拍频、偏振和矢量场，也没有实际测量数据。图像按峰值归一化，用平方根对比度显示。轮廓仪通过理想正立等倍成像系统观察束腰，内部镜片不展开，假定成像完美。相机的物理视野固定，可能裁掉图像边缘；数据图另画出四倍束腰半径的范围。镜间距、横向尺寸和镜面曲率分别使用示意尺度。轮廓仪始终显示预测输出；独立的理想参考图可以用色相显示相位。

先抓重点

核心问题: 只改变泵浦足迹，能改变胜出的空间模式吗？
一句话直觉: 一个模式的阈值，取决于它和增益重叠多少、被光阑挡掉多少；模式长起来以后，局域饱和又会改变竞争。只看一张理想参考图，证明不了这个模式在振荡。

核心数学模型

直角坐标下的 Hermite–Gaussian 模式

\begin{aligned}u_{mn}&\propto H_m(\sqrt2 X)\\&\quad H_n(\sqrt2 Y)e^{-(X^2+Y^2)}\\X&=x/w,\quad Y=y/w\end{aligned}

Hermite 多项式让节点排成矩形网格。实际计算中，每个模式在平面上积分的总功率都归一化为一。

极坐标下的 Laguerre–Gaussian 模式

\begin{aligned}u_{p\ell}&\propto s^{|\ell|/2}L_p^{|\ell|}(s)\\&\quad e^{-s/2}e^{i\ell\phi}\\s&=2r^2/w^2\end{aligned}

方位阶数非零时，光轴上的场为零，强度就可能围成圆环。Laguerre 多项式再决定径向节点，相位则绕中心旋转。本页圆对称家族只取正向螺旋度。

镜面决定束腰和横模间距

\begin{aligned}z_R&=\tfrac12\sqrt{L(2\mathcal R-L)}\\w_0^2&=\lambda z_R/\pi\\\Delta\nu_\perp&=\frac{c}{2\pi L}\,2\arctan\frac{L}{2z_R}\end{aligned}

对称腔固定了束腰和 Gouy 相位。横模阶数每加一，共振频率就移动这样一个间距；模型不强制激光只取某一个纵模阶数。

模式争夺局域增益

\begin{aligned}G_j&=p\int\frac{P\rho_j}{1+\sum_l I_l\rho_l/\rho_0}\,dA\\\dot I_j&=(G_j-\ell_j)I_j\\\rho_0&=2/\pi\end{aligned}

坐标以束腰半径为单位；泵浦峰值为一，每个模式密度积分为一，时间以基准衰减时间计。模型对强度做绝热投影，不考虑相干干涉。

光阑损耗与阶数惩罚

\begin{aligned}Q_j&=\int_{r<a}\rho_j\,dA\\\ell_j&=1-\frac{2\ln Q_j}{0.08}+\ell_N N_j\end{aligned}

光每往返一次，要两次穿过光阑。积分用的是未变形的模式；截断严重时，本征模本身会改变，超出这个模型。

理想模式的光束质量

\begin{aligned}\mathrm{HG}:\quad M_x^2&=2m+1\\M_y^2&=2n+1\\\mathrm{LG}:\quad M_x^2&=M_y^2=2p+|\ell|+1\end{aligned}

这些是二阶矩质量因子。居中的模式非相干叠加时，每个轴的质量等于各模式质量按功率加权的平均，与相位无关。

常见难点

允许不等于振荡

容易误解屏幕上显示的每个理想模式，激光里都一定会出现。

正确理解模式要先克服自身损耗，再在局域饱和后的竞争中胜出。参考图是单独画出的单位功率场。

甜甜圈不能确定相位

容易误解强度图出现圆环，就说明相位绕中心旋转。

正确理解不同模式混合也能形成圆环。相位图画的是指定的理想 LG 场，不是推断出来的相位测量。

光阑积分算不了截断腔

容易误解光阑挡掉一部分功率，本征场的形状完全不变。

正确理解固定的模式基底只能估计各模式的损耗。截断严重或光阑偏轴时，光场会变形，模式之间还会相干耦合，这些都超出这种投影。

动手实验

01
窄泵浦选出中心模式
选择“居中基模”，模型已演化 300 个衰减时间。展开“增益竞争与独立理想模式”，比较候选增益和饱和增益。
你会看到： 基模存活下来，它的增益被钳制在自身损耗上。
02
扩大泵浦范围
先猜泵浦范围更宽能否养活多个图样，再选“宽泵浦，多模式”，比较相机图像与模式功率份额。
你会看到： 更多位置保留了反转，几个模式同时分到功率。
03
不强迫光场也能得到甜甜圈
选择“环形泵浦选择甜甜圈”，再到高级参数改理想参考的阶数或相位显示，与输出相机对比。
你会看到： 方位阶数为一的圆对称模式靠与增益的重叠胜出。改参考不影响输出。
04
平移腔轴，收紧光阑
让整个腔轴相对固定的泵浦和光阑平移，再选择“光阑使输出熄灭”。
你会看到： 增益重叠和透过率都变了。允许的模式也可能达不到阈值；输出熄灭时，参考图照样显示。

激光横模

衍射给出家族，泵浦与损耗选出赢家