L05 · 增益与反馈

被动光学谐振腔

把返回复光场与每次注入光场相加。比较共振、相消干涉和阻抗匹配；关闭驱动，测量腔的记忆。

往返次数 $\text{—}$

经过的模型时间 $\text{—}$

遇输入镜后的循环功率 $\text{—}$

上一步透射功率 $\text{—}$

上一步反射功率 $\text{—}$

自由光谱范围 $\text{—}$

精确 Airy 线宽 $\text{—}$

精细度 $\text{—}$

能量衰减寿命 $\text{—}$

当前频偏 $\text{—}$

上一步能量残差 $\text{—}$

在输入镜处按每次往返采样的单轴向模式包络。镜面散射无吸收，传播衰减对称分布；反射率为功率比例。上一步收支中的功率使用同一时间采样。频偏相对所选长度下的参考纵模共振。光学驻波为示意，不解析波长。不含增益、横向稳定性或镜面频率色散。

先抓重点

核心问题: 整体输入相位改变稳态透射，还是只改变达到稳态的过程？
一句话直觉: 相位决定相长叠加，损耗决定场持续多久。反射、透射、内部损耗与储能必须闭合同一账本。

核心数学模型

光场递推

a_{n+1}=\sqrt{R_1R_2S}\,e^{i\phi_n}a_n+\sqrt{1-R_1}\,d_n,\qquad\phi_n=2\pi\Delta\nu_n/\mathrm{FSR}

振幅约定把固定镜面相位吸收到参考共振中。每次往返的传播功率存活率记作 S；输入相位是独立的整体驱动相位。

Airy 参考

\frac{P_t}{P_{\mathrm{in}}}=\frac{(1-R_1)(1-R_2)\sqrt S}{1+r^2-2r\cos\phi},\qquad r=\sqrt{R_1R_2S}

半次往返的功率存活率为 S 的平方根。这是稳态单色参考，有限速度扫描未必达到它。

频率间距与能量记忆

T_R=\frac{2L}{c},\quad\mathrm{FSR}=T_R^{-1},\quad\tau_p=-\frac{T_R}{\ln(R_1R_2S)}

光子寿命是按往返采样的精确指数能量衰减时间；所选腔长均为真空光学长度。

精确线宽与匹配

\delta\nu=\frac{2\,\mathrm{FSR}}{\pi}\arcsin\frac{1-r}{2\sqrt r},\quad\mathcal F=\frac{\mathrm{FSR}}{\delta\nu},\quad R_1=R_2S

所选反射率范围确保存在半高宽。共振处满足匹配条件时稳态反射抵消，但内部损耗仍会使透射低于一。

单个光学包的能量收支

P_{\mathrm{in},n}=P_{r,n}+P_{t,n}+P_{\mathrm{loss},n}+\left(|a_{n+1}|^2-|a_n|^2\right)

乘以往返时间即可得到采样光学包的能量账本。储存场功率在新输入相遇后采样，出射功率属于前一循环光学包。

常见难点

循环功率是储能流

容易误解循环功率大意味着腔创造能量。

正确理解上一步账本包含储存场的变化；被动镜只重新分配能量，内部衰减移除能量。

输入相位与腔相位不同

容易误解改变整体输入相位会改变共振频率。

正确理解恒定整体相位旋转整个稳态场；相对往返相位决定共振，输入相位跳变引起瞬态。

动手实验

01
一次遇镜一次建立
选择共振，步进几个往返。观察返回、注入与合成向量，再推进 100 次往返。
应该观察到： 相干相加建立循环场；稳态时直接反射与返回泄漏抵消。
02
仅改变相位
建立后将输入相位改变 180 度，先步进，再多次推进 100 次往返。
应该观察到： 已有储存场最初与改变后的驱动干涉；稳定后透射功率恢复原值。
03
测量衰减
建立后关闭驱动。比较相隔相同往返次数的功率。
应该观察到： 储存功率每次往返按固定存活比例衰减，相量不再获得注入贡献。
04
匹配或扫描
比较阻抗匹配与内部损耗，再使用连续扫描。
应该观察到： 匹配抑制共振处反射。动态扫描具有有限建立时间，Airy 图仍是明确标注的稳态参考。