L06 · 增益与反馈

激光噪声启动工作台

激光腔里的第一个光子从哪来？ 没有外来种子光时，激发态粒子的自发辐射可能把第一个光子送进所选腔模。增益超过总损耗，这点光才会长起来；光场再消耗储能，把增益压低。也可以从外面注入种子。

观察随机播种后的激光启动轨迹。移动输出镜，比较增益与损耗，再给严格暗态注入一个光子。

已积分记录时长 $\text{—}$

经过的往返次数 $\text{—}$

记录末端上态比例 $\text{—}$

补偿损耗的上能级比例 $\text{—}$

记录末端平均腔模光子数 $\text{—}$

记录末端输出功率 $\text{—}$

当前受激增益速率 $\text{—}$

总腔损耗速率 $\text{—}$

往返净对数增益 $\text{—}$

理想零噪声泵浦阈值 $\text{—}$

累计自发腔模事件 $\text{—}$

L06 · 实验

激光腔里的第一个光子从哪来？

对数光子曲线关闭后可查看线性输出功率和弛豫振荡。开启泵浦可在运行中切换，已储存的激发会保留。自发腔模播种用严格暗态检验第一个光子的作用。有效泵浦速率

R

1\,\mathrm{\mu s^{-1}}

上能级辐射寿命

\tau_u

2\,\mathrm{\mu s}

真空等效腔长

L

50\,\mathrm{cm}

峰值受激截面

\frac{\sigma_0}{10^{-18}\,\mathrm{m}^2}

2

模式面积尺度

\frac{A}{10^{-8}\,\mathrm{m}^2}

1

输出镜透射率

T

10\,\mathrm{\%}

后镜反射率

R_b

99\,\mathrm{\%}

内部往返功率损耗

\ell

2\,\mathrm{\%}

增益半宽

\gamma

200\,\mathrm{GHz}

腔模偏离增益中心

\Delta\nu

0\,\mathrm{GHz}

随机种子

s

7

比较阈值以下与以上，再关闭播种并注入恰好一个光子。最后关闭泵浦，比较上能级和腔的衰减时间。

这是一个混合单模速率模型：自发光子按 Poisson 事件出现，为经典的平均光子数播种。有效四能级泵浦只单向抽运，激光下能级瞬间排空。模型固定使用十亿个活性发射体、2 cm 增益长度和 1064 nm 光子，自发辐射进入腔模的比例为 0.00000001。截面和寿命只是示例值，不是拟合材料得来的。损耗取一次往返的对数衰减。不考虑横向效应、竞争模式、光学相位和量子光子统计；输运标记只是示意。每次选择采集十微秒；切换泵浦或播种保留激发并再积分十微秒，数值参数则从头制备。读数描述记录末端，回放只读保留轨迹，不增加事件。增益棒和橙色事件符号放大，闪光标记被接受的事件时间，不定位发射体。镜距按示意尺度跟随真空等效腔长。对数亮度和流动标记不计数光子；未收集的后镜及内部损耗不单独绘出。只显示最近八十次自发事件时间，计数包含全部已接受事件；绿色辉光跟随记录的上态比例。

先抓重点

核心问题: 关掉进入腔模的自发辐射后，泵浦超过阈值的介质，能严格保持暗态吗？
一句话直觉: 增益超过损耗，只说明已有种子会长大；省掉播种源后，模型中严格为零的光子数仍会保持为零。

核心数学模型

储能与腔内光子的速率方程

\begin{aligned}\dot n&=R(1-n)\\&\quad-\frac{n}{\tau_u}-\frac{GnS_c}{N_a}\\\dot S_c&=(Gn-\kappa)S_c\\&\quad+\frac{\beta N_a n}{\tau_u}\end{aligned}

第一式演化上态比例，第二式演化腔模光子数，活性发射体共有十亿个。自发播种按 Poisson 候选事件筛选：每接受一次，上态少一个发射体，腔模多一个光子。受激增长和损耗仍按连续平均量处理。

几何、光谱重叠与损耗

\begin{aligned}G&=\frac{2\sigma_0N_a}{AT_R}\\&\quad\times\frac{1}{1+(\Delta\nu/\gamma)^2}\\\kappa&=-\frac{\ln R_b}{T_R}\\&\quad-\frac{\ln(1-T)}{T_R}\\&\quad-\frac{\ln(1-\ell)}{T_R}\end{aligned}

在线性腔里，光每往返一次要穿过增益介质两次。活性发射体固定为十亿个，改变模式面积，就会改变它们的密度，以及它们和光子的重叠。往返时间按真空等效光学长度计算。

理想零噪声阈值

\begin{aligned}n_{\mathrm{th}}&=\kappa/G\\n_0&=\frac{R\tau_u}{1+R\tau_u}\\R_{\mathrm{th}}&=\frac{n_{\mathrm{th}}}{\tau_u(1-n_{\mathrm{th}})}\end{aligned}

如果所需的上能级比例达到或超过一，有限泵浦就到不了阈值。这是把自发源取零得到的稳态参考；有限播种会在阈值以下留下微弱背景，单次轨迹中的自发事件仍是一光子一光子地跳变。

增益钳制与包络输出

\begin{aligned}n_{\mathrm{ss}}&\simeq n_{\mathrm{th}}\\\frac{\kappa S_{c,\mathrm{ss}}}{N_a}&\simeq R(1-n_{\mathrm{th}})\\&\quad-\frac{n_{\mathrm{th}}}{\tau_u}\\P_{\mathrm{out}}&=h\nu\kappa_{\mathrm{out}}S_c\end{aligned}

前两个关系忽略了阈值以上很小的自发源。输出损耗速率等于输出镜的对数衰减除以往返时间；显示的功率取自包络的平均值。

常见难点

只有播种是随机的

容易误解光子数曲线是精确的量子计数模拟。

正确理解自发播种是离散事件；受激增长和损耗则由正值经典包络描述。光子关联、相位扩散和线宽不在模型中。

有正增益还不够

容易误解只要有正的反转，激光就一定会振荡。

正确理解未饱和增益必须超过绕腔一周的全部损耗。输出耦合太强、内部损耗太大，或者腔模偏离增益线太远，都可能让阈值永远达不到。

动手实验

01
区分噪声和激光振荡
比较“阈值以下”和“阈值以上”，页面会自动采集十微秒。光很弱时，也要读一读事件数和输出。
你会看到： 阈值以下，自发光子会漏出腔外，但腔模里攒不起宏观数量的光子。阈值以上，腔模不断长大，把储存的反转消耗掉。
02
检验严格暗态
选择“严格暗态”，再用“注入一个光子并演化”。一光子的中间采样会保留，然后实际积分十微秒。
你会看到： 没有噪声源时，经典光子数如果恰好为零，就会一直是零。注入一个光子，就补上了缺少的种子。
03
观察弛豫振荡
选择“弛豫振荡”，比较上态比例和损耗阈值。高级参数中的“对数光子曲线”只切换显示尺度，不重算轨迹。
你会看到： 粒子数先储存起来，光子随后迅速建立，又把它耗尽，于是出现过冲；接着能量在原子和光子之间来回交换，摆幅逐渐衰减。光子衰减和上能级恢复的时间尺度不同。
04
让腔模偏离增益线
选择“阈值以上”，增大腔模偏离增益中心的量。再回到“阈值以上”，关闭“开启泵浦”，查看接下来的记录。
你会看到： 失谐让腔模得到的增益变小，镜面损耗不变。数值参数会重新制备；切换泵浦或播种则保留储能，再积分十微秒，衰减过程留在同一段记录里。

激光噪声启动工作台

让模式从一次随机事件成长

核心数学模型

储能与腔内光子的速率方程

几何、光谱重叠与损耗

理想零噪声阈值

增益钳制与包络输出

常见难点

只有播种是随机的

有正增益还不够

动手实验

区分噪声和激光振荡

检验严格暗态

观察弛豫振荡

让腔模偏离增益线

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