L12 · 传播、聚焦与测量

Gaussian 光束与光束质量

透镜能把质量较差的光束变为衍射极限光束吗？ 不能。理想透镜能把光斑聚小，也能把发散角压小，但一个变小，另一个就变大，束腰乘发散角始终不变。光束质量看的正是这个乘积。在几个位置量出光束半径，找到束腰，就能算出质量因子。

让光束穿过自由空间、聚焦透镜或扩束器，分别跟踪水平和垂直方向的宽度。沿光路移动轮廓仪，记下半径怎样变化，再用测得的二阶矩半径算出光束质量。

记录的不同平面 $\text{—}$

轮廓仪处水平半径 $\text{—}$

轮廓仪处垂直半径 $\text{—}$

保持的水平光束质量 $\text{—}$

保持的垂直光束质量 $\text{—}$

记录拟合的水平质量 $\text{—}$

记录拟合的垂直质量 $\text{—}$

输出水平束腰位置 $\text{—}$

输出垂直束腰位置 $\text{—}$

输出水平束腰半径 $\text{—}$

输出垂直束腰半径 $\text{—}$

输出水平焦散长度 $\text{—}$

输出垂直焦散长度 $\text{—}$

水平远场半角 $\text{—}$

垂直远场半角 $\text{—}$

场参数适用性 $\text{—}$

轮廓仪处水平 Gaussian q 实部 $\text{—}$

水平 Gaussian q 虚部 $\text{—}$

L12 · 光束工作台

在多个平面上测量光束质量

启用第一片透镜在实际平面施加第一片透镜矩阵。启用第二片透镜在第一片透镜位置下游放置正透镜。使用负焦距第一片透镜焦距大小仍由滑块设定。真空波长

\lambda

1064\,\mathrm{nm}

源水平束腰半径

w_{0x}

0.4\,\mathrm{mm}

源垂直束腰半径

w_{0y}

0.4\,\mathrm{mm}

源水平光束质量

M_x^2

1

源垂直光束质量

M_y^2

1

垂直源束腰位移

z_{0y}

0\,\mathrm{cm}

第一片透镜轴向位置

z_1

40\,\mathrm{cm}

第一片透镜焦距大小

|f_1|

20\,\mathrm{cm}

第二片透镜间距

d

60\,\mathrm{cm}

第二片透镜焦距

f_2

40\,\mathrm{cm}

可移动轮廓仪轴向位置

z_D

70\,\mathrm{cm}

移动轮廓仪不会清除记录；改动光源或透镜会重新开始采集。扩束器拿光斑大小换发散角，光束质量不变。

光束在空气中传播，采用标量近轴模型，透镜是口径无限大的理想薄透镜。轴向零点取在源的水平束腰。水平和垂直方向是固定主轴，两轴之间不耦合。半径取均方根宽度的两倍；对 Gaussian 光束，就是强度降到 e 的平方分之一处的半径。质量因子为一的光源是相干 Gaussian 场，可以用物理复光束参数描述。质量因子更大的光源用 Gaussian Schell 二阶矩模型：强度仍是同样的 Gaussian 形状，角度方差更大；它不是给相干 Gaussian 随意安上一个质量因子。垂直源束腰可以沿轴移动，用来表示简单像散。协方差和装置用同一组光线矩阵传播，理想光学元件不改变每个轴的质量。轮廓仪是可以移动、不扰动光束的取样面，不是不透明挡板；图像按峰值归一化。记录的是理想轮廓半径，不含实验图像噪声。只有最后一片启用透镜之后的平面参与拟合。自动扫描 13 个平面，范围随输出焦散调整，可能超出装置视图。三个不同平面足够做这里的无噪声二次拟合，但不等于符合 ISO 的测量。模型不考虑有限口径、像差、部分相干重建、旋转的一般像散和探测器噪声。推断出的输出束腰如果落在最后一片透镜上游，它是从下游传播段反推出来的虚束腰。

先抓重点

核心问题: 透镜能在不改善质量因子的情况下减小发散角吗？
一句话直觉: 理想光学元件能拿光斑大小换发散角，但两者由二阶矩算出的乘积不变，这个乘积决定光束质量；在几个平面取样，就能找到束腰，并算回这个乘积。

核心数学模型

相干 Gaussian 场

\begin{aligned}q&=z-z_0+iz_R\\z_R&=\pi w_0^2/\lambda\\w^2(z)&=w_0^2\left[1+\left(\frac{z-z_0}{z_R}\right)^2\right]\end{aligned}

这个复参数描述光束质量为一的 Gaussian 场。在束腰处，它的实部为零。

自由传播与薄透镜

\begin{aligned}P(d)&=\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}\\F(f)&=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}\\q^{\prime}&=(Aq+B)/(Cq+D)\end{aligned}

装置和光束二阶矩用同一组光线矩阵。焦距为正的透镜让光束会聚，为负的让光束发散。

二阶矩与守恒的光束质量

\begin{aligned}\Sigma&=\begin{pmatrix}\langle x^2\rangle&\langle x\theta\rangle\\\langle x\theta\rangle&\langle\theta^2\rangle\end{pmatrix}\\\Sigma^{\prime}&=T\Sigma T^{\mathsf T}\\M_x^2&=\frac{4\pi}{\lambda}\sqrt{\det\Sigma}\end{aligned}

本页光束中心在轴上。理想光学矩阵的行列式为一，协方差行列式和各主轴的质量都保持不变。

半径、发散角与焦散

\begin{aligned}w_\sigma&=2\sqrt{\langle x^2\rangle}\\w_\sigma^2(z)&=w_{\sigma0}^2+\Theta^2(z-z_0)^2\\M^2&=\pi w_{\sigma0}\Theta/\lambda\end{aligned}

半径取均方根宽度的两倍，发散角取半角。上标是质量因子名字的一部分，滑块值不要再平方。

用记录的平面反推质量

\begin{aligned}w_\sigma^2(z)&=a+bz+cz^2\\z_0&=-b/(2c)\\w_{\sigma0}^2&=a-b^2/(4c)\\M^2&=\frac{\pi}{\lambda}\sqrt{ac-b^2/4}\end{aligned}

只用记录到的轮廓值，把半径平方拟合成位置的二次函数。至少要三个不同平面，才能定出全部系数；真实测量还要更多取样，并评估噪声。

Kepler 扩束器

\begin{aligned}d&=f_1+f_2\\|\mathcal M|&=f_2/f_1\\w_{\rm out}&\simeq|\mathcal M|w_{\rm in}\\\Theta_{\rm out}&\simeq\Theta_{\rm in}/|\mathcal M|\end{aligned}

输入光束接近准直时，两片正透镜相隔两焦距之和，光斑放大多少倍，发散角就缩小多少倍。Gaussian 光束尺寸有限，结果会略微偏离光线光学的放大率。

常见难点

光斑小不等于质量高

容易误解焦点最小的光束，质量一定最好。

正确理解光束质量同时看束腰半径和远场发散角。焦点大小还取决于源宽度、波长和透镜焦距。

二阶矩模型不是相干场

容易误解任意质量因子都能直接代进物理 Gaussian 参数，光场还是同一个纯场。

正确理解本页质量因子较大的光源用 Gaussian Schell 二阶矩模型。它们的强度分布可以仍是 Gaussian，相干性和角度扩展却不同。

教学扫描不是认证测量

容易误解十三个理想样本就够得上符合 ISO 的实验测量。

正确理解这里的无噪声采集只用来演示拟合。实际测量要按规定取样，还要校准、扣除背景，并评估不确定度。

动手实验

01
观察自由传播
选择“自由传播”，把轮廓仪移到几个位置，记录三个不同平面。
你会看到： 光斑离源束腰越远越大，拟合出的光束质量为一。
02
聚焦修复不了质量
分别选择“聚焦 Gaussian”和“同样大小，更差光束质量”预设，各扫描 13 个平面。
你会看到： 源半径相同，角度方差可以不同。透镜改变了焦散，各轴质量因子却不变。
03
分开像散的两轴
选择“两个不同束腰面”，移动轮廓仪并扫描。
你会看到： 水平和垂直束腰落在不同位置。某处光斑看上去是圆的，不代表两轴共用一个束腰。
04
用尺寸换发散角
选择“三倍 Kepler 扩束器”，比较半径和发散角，再开关第二片透镜。
你会看到： 两片透镜把近准直光束的半径放大约三倍，发散角缩小到约三分之一，光束质量不变。

Gaussian 光束与光束质量

透镜改变焦点，不改变相空间面积