L12 · 传播、聚焦与测量

Gaussian 光束与光束质量

让光束两轴经过自由空间、聚焦透镜或扩束器。移动轮廓仪、记录焦散，再从测得的二阶矩半径恢复光束质量。

记录的不同平面 $\text{—}$

轮廓仪处水平半径 $\text{—}$

轮廓仪处垂直半径 $\text{—}$

保持的水平光束质量 $\text{—}$

保持的垂直光束质量 $\text{—}$

记录拟合的水平质量 $\text{—}$

记录拟合的垂直质量 $\text{—}$

输出水平束腰位置 $\text{—}$

输出垂直束腰位置 $\text{—}$

输出水平束腰半径 $\text{—}$

输出垂直束腰半径 $\text{—}$

输出水平焦散长度 $\text{—}$

输出垂直焦散长度 $\text{—}$

水平远场半角 $\text{—}$

垂直远场半角 $\text{—}$

场参数适用性 $\text{—}$

轮廓仪处水平 Gaussian q 实部 $\text{—}$

水平 Gaussian q 虚部 $\text{—}$

L12 · 光束工作台

跨多个平面测量质量

启用第一片透镜在实际平面施加第一片透镜矩阵。启用第二片透镜在第一片透镜位置下游放置正透镜。使用负焦距第一片透镜焦距滑块设置其大小。真空波长

\lambda

1064\,\mathrm{nm}

源水平束腰半径

w_{0x}

0.4\,\mathrm{mm}

源垂直束腰半径

w_{0y}

0.4\,\mathrm{mm}

源水平光束质量

M_x^2

1

源垂直光束质量

M_y^2

1

垂直源束腰位移

z_{0y}

0\,\mathrm{cm}

第一片透镜轴向位置

z_1

40\,\mathrm{cm}

第一片透镜焦距大小

|f_1|

20\,\mathrm{cm}

第二片透镜间距

d

60\,\mathrm{cm}

第二片透镜焦距

f_2

40\,\mathrm{cm}

可移动轮廓仪轴向位置

z_D

70\,\mathrm{cm}

移动轮廓仪不会清除记录；改变光源或透镜会开始新采集。扩束器交换光斑大小与发散角，并保持光束质量。

空气、标量近轴传播及无限口径理想薄透镜。源水平束腰定义轴向零点；水平与垂直为固定主轴，无跨轴耦合。半径为均方根宽度的两倍；对 Gaussian 等于强度降至自然常数平方倒数处的半径。单位质量因子光源是相干 Gaussian 场，可使用物理复光束参数。较大质量因子采用 Gaussian Schell 二阶矩模型：强度仍为 Gaussian，角度方差更大；不能把它当成附加任意质量因子的相干 Gaussian。垂直源束腰可沿轴位移以表示简单像散。协方差与装置共用光线矩阵，理想光学保持每轴质量。轮廓仪是可移动、不扰动光束的取样面，不是不透明挡板；图像采用峰值归一化。记录为理想轮廓半径，不含实验图像噪声。拟合仅收录最后启用透镜之后的平面。自动 13 平面扫描适应输出焦散，可能超出装置视图。三个不同平面足以进行本页无噪声二次拟合，不代表符合 ISO 测量。忽略有限口径、像差、部分相干重建、旋转的一般像散和探测噪声。位于最后透镜上游的推断输出束腰是下游传播段的虚拟外推。

先抓重点

核心问题: 透镜能在不改善质量因子的情况下减小发散角吗？
一句话直觉: 理想光学中光斑与发散角互换，不变的二阶矩乘积决定质量。多个取样平面定位束腰并恢复该乘积。

核心数学模型

相干 Gaussian 场

\begin{aligned}q&=z-z_0+iz_R\\z_R&=\pi w_0^2/\lambda\\w^2(z)&=w_0^2\left[1+\left(\frac{z-z_0}{z_R}\right)^2\right]\end{aligned}

此物理复参数适用于单位质量因子 Gaussian 场。在束腰处实部为零。

自由传播与薄透镜

\begin{aligned}P(d)&=\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}\\F(f)&=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}\\q^{\prime}&=(Aq+B)/(Cq+D)\end{aligned}

装置与二阶矩共用矩阵；正焦距会聚，负焦距发散。

二阶矩与保持的质量

\begin{aligned}\Sigma&=\begin{pmatrix}\langle x^2\rangle&\langle x\theta\rangle\\\langle x\theta\rangle&\langle\theta^2\rangle\end{pmatrix}\\\Sigma^{\prime}&=T\Sigma T^{\mathsf T}\\M_x^2&=\frac{4\pi}{\lambda}\sqrt{\det\Sigma}\end{aligned}

本页质心为零。单位行列式理想光学矩阵保持协方差行列式与各主轴质量。

半径、发散角与焦散

\begin{aligned}w_\sigma&=2\sqrt{\langle x^2\rangle}\\w_\sigma^2(z)&=w_{\sigma0}^2+\Theta^2(z-z_0)^2\\M^2&=\pi w_{\sigma0}\Theta/\lambda\end{aligned}

半径为均方根宽度的两倍，发散角为半角。上标属于质量因子的名称，不要再平方滑块值。

从记录平面恢复质量

\begin{aligned}w_\sigma^2(z)&=a+bz+cz^2\\z_0&=-b/(2c)\\w_{\sigma0}^2&=a-b^2/(4c)\\M^2&=\frac{\pi}{\lambda}\sqrt{ac-b^2/4}\end{aligned}

仅用记录轮廓值对半径平方做二次拟合。少于三个不同平面无法确定全部系数；真实测量需要更多采样及噪声评估。

Kepler 扩束器

\begin{aligned}d&=f_1+f_2\\|\mathcal M|&=f_2/f_1\\w_{\rm out}&\simeq|\mathcal M|w_{\rm in}\\\Theta_{\rm out}&\simeq\Theta_{\rm in}/|\mathcal M|\end{aligned}

对近准直输入，两片正透镜相隔焦距之和时交换光斑与发散角。有限 Gaussian 波前使结果略偏离光线放大率。

常见难点

小光斑不等于高质量

容易误解最小焦点一定具有最佳光束质量。

正确理解质量同时使用束腰半径与远场发散角；源宽度、波长和透镜焦距也影响光斑。

广义二阶矩不是相干场

容易误解任意质量因子都能直接加入物理 Gaussian 参数而保持同一个纯场。

正确理解本页较大质量因子光源采用 Gaussian Schell 二阶矩模型；强度可以是 Gaussian，相干性与角度扩展却不同。

教学扫描不是认证

容易误解十三个理想样本证明符合 ISO 实验测量。

正确理解此无噪声采集演示拟合；实际测量需规定采样、校准、背景校正及不确定度评估。

动手实验

01
学习自由传播
选择自由传播，跨多个平面移动轮廓仪，记录三个不同平面。
应该观察到： 光斑离开源束腰后扩大；拟合质量为一。
02
聚焦不能修复质量
比较聚焦与较差质量预设，分别扫描 13 个平面。
应该观察到： 相同源半径能隐藏不同角度方差；透镜改变焦散，但保持各质量因子。
03
分离像散两轴
选择两个束腰面，移动轮廓仪并扫描。
应该观察到： 水平与垂直束腰出现在不同位置；单个近圆光斑不代表共有束腰。
04
用尺寸交换发散角
选择三倍扩束器，比较半径与发散角，再关闭第二透镜。
应该观察到： 双透镜系统近似使近准直光束半径增至三倍、发散角降至三分之一；质量保持不变。