L13 · 光轴、波前与腔响应

对准与模式匹配

光斑已经居中，为何仍被共振腔反射？ 居中只管位置和角度。光束粗细或波前曲率跟腔模对不上，就有一部分光进了高阶模，这些模不共振，只能被反射回来。调光斑大小和曲率要靠透镜，转向镜帮不上忙。

调节两块转向镜和一组双透镜，把激光耦合进腔。先分清光轴误差和光束尺寸、曲率失配，再扫描腔频率，看光束激发了哪些横模阶数。

基模功率重叠 $\text{—}$

居中波前失配 $\text{—}$

积分反射功率份额 $\text{—}$

积分透射功率份额 $\text{—}$

腔入口垂直质心 $\text{—}$

腔入口垂直光线角 $\text{—}$

入口入射半径 $\text{—}$

入口腔参考半径 $\text{—}$

入射光束参数实部 $\text{—}$

入射光束参数虚部 $\text{—}$

总一阶功率 $\text{—}$

总二阶功率 $\text{—}$

32 阶以上未解析功率 $\text{—}$

L13

让光束匹配腔

输入光束束腰半径

w_0

0.21728768082325872\,\mathrm{mm}

源平面相对束腰距离

z_s-z_0

-20.432276657060523\,\mathrm{cm}

源垂直偏移

d_s

0\,\mathrm{mm}

源垂直角度

\theta_s

0\,\mathrm{mrad}

第一转向镜俯仰

\delta_1

0\,\mathrm{mrad}

第二转向镜俯仰

\delta_2

0\,\mathrm{mrad}

第一匹配透镜焦距

f_1

60\,\mathrm{cm}

第二匹配透镜焦距

f_2

50\,\mathrm{cm}

相对基模频率失谐

\Delta\nu

0\,\mathrm{MHz}

先消除质心偏移和角度，再匹配复波前。反射端变暗，并不能说明是哪个横模在共振。

一束相干的 1064 nm Gaussian 光射入空气中的被动无损腔，腔由两块相同的球面镜组成：腔长 0.5 米，曲率半径 0.9 米，每块镜子的功率反射率为 98%。输入功率归一为一。沿光路的距离从源参考面算起：两块转向镜在 0.15 米和 0.35 米处，透镜在 0.50 米和 0.90 米处，腔入口在 1.40 米处；腔的束腰在两镜正中。半径指强度降到峰值的 e 平方分之一处的半径。转向控制让镜面在竖直平面内微微俯仰，反射光线转过的角度是镜面转角的两倍。传播计算把理想折叠光路展开，不计弧矢效应、偏振和镜面像差。竖直位移和角度以向上为正。装置图在横向放大了偏差，光束包络可能用另一种比例。透镜是无限口径、正焦距的理想薄透镜。Gaussian 场解析地投影到完整的 Hermite 模式基上；频谱保留到总阶数 32 阶，剩下的功率当作全部反射。读数会给出这部分余量，失配严重时频谱预测只是近似。每个保留的阶数都有自己的 Airy 响应，频率按 Gouy 相位移开。理想无损环行器把返回光送到反射功率计，不改变输入光束参数。反射功率与透射功率加起来等于入射功率。入射轮廓和理想腔参考是两份独立数据，用同一尺度、按峰值归一，并以平方根对比度显示；单看强度图看不出相位曲率或倾斜。自动转向消除质心偏移和角度，但修不了波前失配。受限的透镜搜索先把居中失配降到最小，再重新对准；不保证每种光源都能完全匹配。模型不含主动增益、热畸变、有限口径、一般像散、探测噪声和对准伺服动力学。

先抓重点

核心问题: 光束已经居中，只是尺寸或曲率不对，靠转向镜能修好吗？
一句话直觉: 两块转向镜管位置和角度，两块透镜管复光束参数，也就是尺寸和曲率。两样都调对，基模共振才能接纳几乎全部入射光。

核心数学模型

转向镜与透镜对光线的作用

\begin{aligned}x^{\prime}&=x+d\theta\\\theta^{\prime}_{\rm mirror}&=\theta+2\delta\\\theta^{\prime}_{\rm lens}&=\theta-x/f\end{aligned}

传播一段距离后，角度就变成了位置偏移，所以放在不同位置的两块镜子能同时调好位置和角度。透镜也会改变偏轴光束质心的方向。

Gaussian 光束的复参数

\begin{aligned}q&=z-z_0+iz_R\\z_R&=\pi w_0^2/\lambda\\q^{\prime}&=(Aq+B)/(Cq+D)\end{aligned}

实部给出束腰在哪里，虚部决定光束因衍射扩展的快慢。两者在腔入口处都要和腔模一致。

输入镜处的腔模

\begin{aligned}z_{R,c}&=\tfrac12\sqrt{L(2R-L)}\\q_c&=-L/2+iz_{R,c}\\w_c^2&=\frac{\lambda|q_c|^2}{\pi z_{R,c}}\end{aligned}

这个对称腔的束腰在两镜正中，所以腔模在入口处仍向束腰会聚。

按场计算重叠，而不是按强度

\begin{aligned}c_{mn}&=\iint u_{mn,c}^{*}u_{\rm in}\,dx\,dy\\\eta_{00}&=|c_{00}|^2\\\sum_{m,n\ge0}|c_{mn}|^2&=1\end{aligned}

重叠积分用的是复场，保留了曲率和倾斜带来的相位。图像居中的光束，仍可能有相当多功率落在偶数高阶模上。

居中光束的失配与对准极限

\begin{aligned}\eta_{\rm centered}&=\frac{4\,\Im q\,\Im q_c}{|q-q_c^{*}|^2}\\\eta_{\rm waist}&=\exp\!\left[-\frac{d^2}{w^2}-\frac{k^2w^2\theta^2}{4}\right]\end{aligned}

第二行适用于光束与腔模尺寸相同、束腰重合的情形，可以独立检验对准灵敏度。一般的重叠积分还能同时处理曲率误差和光轴误差。

每一横模阶数有自己的共振

\begin{aligned}\nu_{\rm FSR}&=c/(2L)\\\Delta\nu_{\perp}&=\frac{\nu_{\rm FSR}}{\pi}\arccos(1-L/R)\\\mathcal T_N&=\frac{(1-\mathcal R)^2}{(1-\mathcal R)^2+4\mathcal R\sin^2(\phi_N/2)}\\\phi_N&=\frac{2\pi(\Delta\nu-N\Delta\nu_{\perp})}{\nu_{\rm FSR}}\end{aligned}

把各阶的响应按投影到该阶的功率加权求和。两块镜子功率反射率相同；没有吸收，反射与透射的份额加起来为一。

常见难点

居中光斑不等于场匹配

容易误解强度图上是居中的 Gaussian 光斑，耦合肯定没问题。

正确理解强度图看不出倾斜和相位曲率，要同时看光轴读数和复波前。

转向和聚焦各管各的

容易误解镜子多调一调，什么失配都能修好。

正确理解转向改变光束质心和角度，透镜改变 Gaussian 光束参数。光束居中后剩下的波前误差，转向修不掉。

反射谷可能属于其他模式

容易误解反射一出现暗谷，就说明基模在共振。

正确理解高阶成分也会共振，只是频率按 Gouy 相位移开了。要看模式重叠，也要看峰落在哪个频率。

动手实验

01
把偏移的光束拉回光轴
选择源位移，调节两块镜子的俯仰，或点校正转向镜。
你会看到： 腔入口处的位置和角度都回到零，基模重叠随之恢复。
02
找出隐藏的波前误差
选择已对准但波前不对，点校正转向镜，再比较居中失配。
你会看到： 光轴本来就是对的。转向既改变不了复光束参数，也改变不了偶数阶成分。
03
用透镜做匹配
改变两个焦距，再点搜索匹配透镜作比较。
你会看到： 光束尺寸和曲率逐渐接近腔参考。搜索换好透镜后，还会重新校正转向。
04
分清频率失谐和空间失配
比较匹配但偏离共振和空间失配两种情况，并在几个峰附近扫描失谐。
你会看到： 频率失谐不改变模式重叠；空间失配会改变各横模阶数峰的相对高度。