L09 · 模式与腔设计

增益曲线与纵模

增益被腔模压到饱和后，哪些模式还能留下来？ 所有模式共用一份增益时，通常只剩阈值最低那个：它把增益压下去，别的模式就够不着阈值了。烧孔会打破这种共享。各个模式用上不同频率的原子，或者腔内不同位置上的增益，就能几个同时起振。在对手频率上加损耗，抬高它们的阈值，就只剩一个。

让腔模梳扫过增益谱线，看哪些模式活下来。比较共享的均匀增益、各自独立的频率原子组、驻波空间烧孔和频率选择损耗，再记录一次跳模。

经过的光子寿命 $\text{—}$

冷腔模间距 $\text{—}$

未饱和阈值候选数 $\text{—}$

占比超过百分之一的模式数 $\text{—}$

最低未饱和泵浦阈值 $\text{—}$

归一化总强度 $\text{—}$

主模占比 $\text{—}$

主模相对序号 $\text{—}$

主模冷腔频率偏移 $\text{—}$

主模饱和净增益 $\text{—}$

边模抑制 $\text{—}$

单谱线阈值牵引估计 $\text{—}$

L09 · 模式选择

越过阈值只是开始

非均匀频率原子组用 Gaussian 跃迁频率分布代替单一共享谱线。驻波空间烧孔采用全腔驻波重叠；关闭时为均匀行波参考。光学腔长

L

60\,\mathrm{cm}

增益宽度参数

b

0.65\,\mathrm{GHz}

峰值自由增益与损耗之比

p

1.8

以模间距计的模梳位移

\delta

0.12

二次滤波损耗强度

f

0

滤波中心偏移

\nu_f-\nu_a

0\,\mathrm{GHz}

多推进几次，才能分清哪些只是暂时的候选模，哪些真正存活。在相同泵浦下比较三种无滤波预设，再加入滤波。调谐越过半个模间距，就能记录一次跳模。

这是简化的 class-A 竞争模型，含 31 个纵模；反转粒子数绝热消去，模式强度保持非负。均匀增益为 Lorentz 谱线。非均匀增益把半宽 80 MHz 的 Lorentz 原子组按 Gaussian 分布平均。增益宽度控制在前一种情形下表示均匀半宽，在后一种情形下表示 Gaussian 标准差。频率重叠和全腔空间重叠都是精确值，代入的饱和关系只取到一阶；远离阈值时，这是教学近似。在均匀填充的腔中，驻波让自饱和强于交叉饱和。所有模式从等量的微小种子出发，这是经典初始条件。强度以饱和强度为单位，时间以光子寿命为单位，所以模型不预测瓦数、拍频相位、弛豫振荡或线宽。频率牵引读数是单独的线性估计，只针对阈值处的单条谱线；非均匀、驻波或加滤波时关闭，也不会移动竞争谱。

先抓重点

核心问题: 为什么改变增益展宽或空间重叠后，同一组腔模会有不同结果？
一句话直觉: 阈值看的是未饱和增益，能不能活下来，要看自饱和与交叉饱和。均匀展宽、空间均匀的增益偏向阈值最低的模式，除非两个阈值恰好相等；频率烧孔或空间烧孔能让几个模式共存。

核心数学模型

冷腔模梳

\begin{aligned}\mathrm{FSR}&=\frac{c}{2L}\\\nu_j-\nu_a&=(j+\delta)\mathrm{FSR}\end{aligned}

光学腔长决定模间距。偏移让整个模梳相对原子谱线平移；调谐时，每个模式的相对序号保持不变。

频率重叠

\begin{aligned}H_{jk}&=\frac{1}{1+[(\nu_j-\nu_k)/\gamma_h]^2}\\h_j&=\frac{\sum_kw_kH_{jk}}{\mathcal N}\end{aligned}

只有一组原子时，得到均匀展宽的 Lorentz 谱线；原子组按 Gaussian 分布时，得到 Voigt 谱线。归一化让谱线中心的未饱和增益等于泵浦设定值。

全腔空间重叠

\langle f_jf_l\rangle=\begin{cases}3/2&j=l\\1&j\ne l\end{cases}

强度均值归一为一时，驻波和自己的重叠，比和另一个纵模驻波的重叠更大。这里假设增益均匀填满整个腔；短晶体要换一个重叠积分。

简化的饱和与竞争

\begin{aligned}C_{jl}&=\frac{\sum_kw_kH_{jk}H_{lk}}{\mathcal N}\langle f_jf_l\rangle\\G_j&=\frac{ph_j}{1+\sum_lC_{jl}I_l/h_j}\end{aligned}

在所选的数值积分和几何下，重叠是精确值。饱和公式把局部饱和的一阶展开延拓成始终非负的形式，不是完整的空间 Maxwell–Bloch 求解。

模式成长与频率相关损耗

\begin{aligned}u&=t/\tau_p\\\frac{dI_j}{du}&=(G_j-\ell_j)I_j+\epsilon\\\ell_j&=1+f\left(\frac{\nu_j-\nu_f}{\mathrm{FSR}}\right)^2\end{aligned}

损耗与增益谱形之比最小的模式，未饱和阈值最低。一个很小的经典底噪，让被压下去的模式在调谐后还能长回来。强度超过总强度百分之一的模式算作活跃。

单独估计的频率牵引

\begin{aligned}\nu_L&=\frac{\gamma_h\nu_c+\gamma_c\nu_a}{\gamma_h+\gamma_c}\\\gamma_c&=\frac{\kappa}{4\pi}\end{aligned}

这是单条谱线在阈值处的线性估计，它把激光频率往原子共振方向拉。冷腔线宽由每次往返 0.08 的基础对数功率损耗确定。竞争谱仍停在冷腔频率上；假设不成立时，这个估计关闭。

常见难点

候选不等于存活

容易误解未饱和增益高于损耗的模式，都会出现在最终谱里。

正确理解阈值是在增益饱和之前判断的。最终增益要把所有竞争模式的强度都算进去。

多模不等于锁模

容易误解多条存活谱线自动形成短脉冲。

正确理解本模型不跟踪模式相位，所以预测不了拍频、相位锁定、脉冲形成和线宽，这些留给后续实验。

均匀增益不等于空间均匀饱和

容易误解均匀展宽驻波激光器一定只有一个模式。

正确理解不同的驻波图样会消耗不同位置的增益。行波参考去掉了这种空间效应；即便如此，阈值恰好相等的模式仍可能分享输出。

动手实验

01
先预测候选，再观察选择
选择“均匀增益竞争”，记下阈值候选数。推进三次，再和活跃模式数、边模抑制比较。
你会看到： 起初有好几个模式过了阈值，但阈值最低的那个耗尽了共享增益，把相邻模式压了下去。
02
区分两种烧孔
在相同泵浦和腔长下，比较“频率烧孔”和“驻波空间烧孔”，各推进三次。
你会看到： 频率烧孔时，各模式用的是不同频率的原子组，彼此饱和得少。驻波烧孔时，每个模式和自己的重叠最大，给相邻纵模留下了增益。两种机制不一样。
03
让一个模式获胜
载入“滤波的非均匀增益”，再移动滤波中心。推进前后都看一看损耗和饱和增益。
你会看到： 靠近滤波中心的模式损耗更小。竞争模式的阈值抬高以后，增益谱线再宽，输出也不一定宽。
04
记录跳模
载入“接近跳模”并推进，再用“向右调谐并演化”两次，看主模相对序号和冷腔频率偏移。
你会看到： 模梳移过半个模间距时，胜出的纵模换了一个。调谐保留原有强度，所以新模式接管可能要花一些时间。