L10 · 模式与腔设计

稳定谐振腔几何

改变两面镜的曲率与间距，把稳定图、ABCD 光线追迹、Gaussian 束腰及两次光阑截断联系起来，探索共焦、平行平面、半球及同心边界。

已追迹单程次数 $\text{—}$

后镜稳定性参数 $\text{—}$

输出镜稳定性参数 $\text{—}$

稳定性乘积 $\text{—}$

几何分类 $\text{—}$

往返矩阵迹 $\text{—}$

最大特征值模 $\text{—}$

Gaussian 束腰半径 $\text{—}$

束腰距后镜距离 $\text{—}$

Rayleigh 长度 $\text{—}$

后镜模式半径 $\text{—}$

输出镜模式半径 $\text{—}$

估计往返截断损耗 $\text{—}$

追迹光线状态 $\text{—}$

L10 · 几何工作台

追踪同一条光线的腔内传播

使用平面后镜忽略该曲率控制，将聚焦能力设为零。使用平面输出镜忽略该曲率控制，将聚焦能力设为零。镜间距

L

50\,\mathrm{cm}

后镜曲率半径

\mathcal R_1

100\,\mathrm{cm}

输出镜曲率半径

\mathcal R_2

100\,\mathrm{cm}

真空波长

\lambda

1064\,\mathrm{nm}

光阑半径

a

0.6\,\mathrm{mm}

光阑在腔内的位置

z_a/L

50\,\mathrm{\%}

后镜处光线初始高度

y_0

0.15\,\mathrm{mm}

初始正向斜率

\theta_0

0.4\,\mathrm{mrad}

比较精确共焦与仅改变一面镜一厘米后的结果。在平行平面腔中追迹倾斜光线；移动或缩小光阑，观察几何稳定性不变时的截断。

空气中的对准球面镜、标量近轴光学，凹面曲率半径取正。后镜定义轴向零点；横向向上为正，光线斜率沿当地传播方向定义。Gaussian 半径为强度降至自然常数平方倒数处的半径。稳定区域内部的往返矩阵具有唯一虚部为正的固定点。精确共焦几何具有退化家族；显示的居中对称 Gaussian 是选定成员，并非唯一解。其他边界点不指定有限模式。光阑损耗每往返两次积分未变形 Gaussian，忽略衍射重塑、有限镜面口径、增益导引、热透镜、倾斜及像散。光线在实际光阑或超出近轴范围时停止。镜面弧度和横向尺度为示意；光线与 Gaussian 包络采用相同横向放大率。

先抓重点

核心问题: 为什么几何稳定腔仍会严重截断？为什么精确周期腔可以没有唯一 Gaussian 模式？
一句话直觉: 内部特征值模为一，光线运动有界。重复特征值处必须看完整矩阵：共焦的负单位映射使光线重复，Jordan 映射则积累位移。

核心数学模型

传播与反射

\begin{aligned}P(L)&=\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}\\M_i&=\begin{pmatrix}1&0\\-2/\mathcal R_i&1\end{pmatrix}\end{aligned}

光线向量包含横向高度及当地正向斜率。平面镜聚焦能力为零，往返从后镜反射后开始。

往返稳定性

\begin{aligned}M&=M_1P M_2P\\g_i&=1-L/\mathcal R_i\\\operatorname{tr}M&=4g_1g_2-2\\\det M&=1\end{aligned}

严格内部稳定要求乘积在零与一之间；边界乘积需要单独分析矩阵，不能笼统标为稳定或不稳定。

Gaussian 固定点

\begin{aligned}q&=\frac{Aq+B}{Cq+D}\\q(z)&=z-z_0+iz_R\\w^2(z)&=w_0^2\left[1+\left(\frac{z-z_0}{z_R}\right)^2\right]\\w_0^2&=\frac{\lambda z_R}{\pi}\end{aligned}

选择虚部为正的解。实部决定束腰位置，虚部决定 Rayleigh 长度；半径和全部场景包络都由同一个解产生。

对称腔极限

\begin{aligned}z_0&=L/2\\z_R&=\frac12\sqrt{L(2\mathcal R-L)}\\w_0^2&=\frac{\lambda z_R}{\pi}\end{aligned}

此独立极限用于检查矩阵解。在共焦点，所选对称成员的 Rayleigh 长度等于半个腔长。

共焦退化

\begin{aligned}\mathcal R_1&=\mathcal R_2=L\\M&=-\mathbb I\\M^2&=\mathbb I\end{aligned}

理想近轴映射中，每条光线在两次往返后返回。固定点方程本身不能选择唯一光束；显示对称成员是一项明确选择。

两次光阑积分估计

\begin{aligned}u_a&=\frac{2a^2}{w^2(z_a)}\\Q_a&=(1-e^{-u_a})^2\\\ell_a&=1-Q_a\end{aligned}

圆形光阑每往返穿过两次。此式积分未扰动 Gaussian 强度；严重截断会改变模式，需要衍射传播。

常见难点

边界处单位特征值还不够

容易误解特征值模为一就保证稳健约束。

正确理解不可对角化的边界映射可以呈多项式增长；精确共焦可以对角化，但退化且对不对称扰动敏感。

光线与 Gaussian 是不同检验

容易误解一条光线存活就证明整个模式能通过。

正确理解单条光线可以通过光阑，同时 Gaussian 的大量功率被截断；积分损耗和光线状态回答不同问题。

光阑损耗不是场解

容易误解截断后的腔仍保持完全相同的 Gaussian 本征模。

正确理解读数积分的是未变形参考；损耗较大时，衍射重塑使该假设失效。

动手实验

01
连接稳定图与轨迹
在稳定对称腔中追迹 32 次单程。只改初始高度或角度，再次追迹。
应该观察到： Gaussian 解不变，测试光线沿不同的有界轨道运动，除非被光阑截断。
02
检验精确共焦
选择精确共焦，步进四次；只改变一面镜曲率一厘米，分别向两个方向尝试。
应该观察到： 精确光线重复；只改一面镜后成为偏差累积的边界 Jordan 映射；进一步改变两面镜可以进入不稳定楔形区域。
03
检查边界
比较平行平面、半球与同心边界，用相同的非零初始角度追迹。
应该观察到： 重复特征值模可以为一，偏差却仍积累；这些非共焦边界不指定有限 Gaussian。
04
区分稳定与截断
比较接近同心和稳定但截断预设。沿腔移动光阑，再增加波长。
应该观察到： 边界附近的 Gaussian 光斑可能很大。改变光阑或波长改变截断，但不改变几何稳定性乘积。