L10 · 模式与腔设计

稳定谐振腔几何

腔稳定了，光束就一定能通过光阑吗？ 不一定，稳定和通过光阑是两回事。镜面曲率和腔长落在稳定区内，偏轴光线就会一直在轴附近来回。可就算腔稳定，Gaussian 模式也可能比光阑宽，光阑处的光斑大小得另外算。共焦腔这类正好卡在稳定边界上的情形，要格外小心。

改变两面镜的曲率和镜间距，看稳定图怎样对应 ABCD 光线追迹、Gaussian 束腰，以及光束两次经过光阑时的截断；再看看共焦、平行平面、半球和同心这几种边界情形。

已追迹单程次数 $\text{—}$

后镜稳定性参数 $\text{—}$

输出镜稳定性参数 $\text{—}$

稳定性乘积 $\text{—}$

几何分类 $\text{—}$

往返矩阵迹 $\text{—}$

最大特征值模 $\text{—}$

Gaussian 束腰半径 $\text{—}$

束腰距后镜距离 $\text{—}$

Rayleigh 长度 $\text{—}$

后镜模式半径 $\text{—}$

输出镜模式半径 $\text{—}$

估计往返截断损耗 $\text{—}$

追迹光线状态 $\text{—}$

L10 · 几何工作台

跟踪同一条光线在腔内来回传播

使用平面后镜忽略该曲率控制，将聚焦能力设为零。使用平面输出镜忽略该曲率控制，将聚焦能力设为零。镜间距

L

50\,\mathrm{cm}

后镜曲率半径

\mathcal R_1

100\,\mathrm{cm}

输出镜曲率半径

\mathcal R_2

100\,\mathrm{cm}

真空波长

\lambda

1064\,\mathrm{nm}

光阑半径

a

0.6\,\mathrm{mm}

光阑在腔内的位置

z_a/L

50\,\mathrm{\%}

后镜处光线初始高度

y_0

0.15\,\mathrm{mm}

初始正向斜率

\theta_0

0.4\,\mathrm{mrad}

比较精确共焦腔和只把一面镜改动一厘米后的结果。在平行平面腔里追迹一条倾斜光线。再移动或缩小光阑：截断会变，几何稳定性不变。

模型采用空气中对准的球面镜和标量近轴光学，凹面曲率半径取正。轴向位置从后镜算起；横向向上为正，光线斜率沿当地传播方向定义。Gaussian 半径指强度降到峰值的 e 平方分之一处的半径。稳定区内部，往返矩阵只有一个虚部为正的固定点。精确共焦几何有一整族解；显示的居中对称 Gaussian 是选出的一个成员，不是唯一解。其他边界点不指定有限模式。光阑损耗每往返积分两次未变形的 Gaussian，不含衍射重塑、有限镜面口径、增益导引、热透镜、倾斜和像散。光线碰到实际光阑，或超出近轴范围时停止。镜面弧度和横向尺寸是示意，但光线和 Gaussian 包络用的是同一个横向放大率。

先抓重点

核心问题: 为什么几何稳定腔仍会严重截断？为什么精确周期腔可以没有唯一 Gaussian 模式？
一句话直觉: 稳定区内部，特征值的模为一，光线始终有界。特征值重合时，要看整个矩阵：共焦腔的映射是负单位矩阵，光线会回到原处；Jordan 型映射则让位移越积越大。

核心数学模型

传播与反射

\begin{aligned}P(L)&=\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}\\M_i&=\begin{pmatrix}1&0\\-2/\mathcal R_i&1\end{pmatrix}\end{aligned}

光线向量包含离轴高度和当地的正向斜率。平面镜没有聚焦能力。每次往返从后镜反射之后开始算。

往返稳定性

\begin{aligned}M&=M_1P M_2P\\g_i&=1-L/\mathcal R_i\\\operatorname{tr}M&=4g_1g_2-2\\\det M&=1\end{aligned}

乘积严格在零和一之间，腔才在稳定区内部。乘积落在边界值时，要单独分析矩阵，不能简单标成稳定或不稳定。

Gaussian 模式是固定点

\begin{aligned}q&=\frac{Aq+B}{Cq+D}\\q(z)&=z-z_0+iz_R\\w^2(z)&=w_0^2\left[1+\left(\frac{z-z_0}{z_R}\right)^2\right]\\w_0^2&=\frac{\lambda z_R}{\pi}\end{aligned}

取虚部为正的解。实部给出束腰位置，虚部给出 Rayleigh 长度；光束半径和场景里所有光束轮廓都来自这同一个解。

对称腔的检验

\begin{aligned}z_0&=L/2\\z_R&=\frac12\sqrt{L(2\mathcal R-L)}\\w_0^2&=\frac{\lambda z_R}{\pi}\end{aligned}

这个闭式结果独立检验矩阵解。在共焦点，所选对称模式的 Rayleigh 长度等于半个腔长。

共焦退化

\begin{aligned}\mathcal R_1&=\mathcal R_2=L\\M&=-\mathbb I\\M^2&=\mathbb I\end{aligned}

在理想近轴映射里，每条光线往返两次后回到原处。固定点方程本身选不出唯一的光束，所以这里明确选了对称的那一个来显示。

两次通过光阑的损耗估计

\begin{aligned}u_a&=\frac{2a^2}{w^2(z_a)}\\Q_a&=(1-e^{-u_a})^2\\\ell_a&=1-Q_a\end{aligned}

光束每往返一次，穿过圆形光阑两次。这个估计积分的是未受扰动的 Gaussian 强度；截断严重时，模式本身会变，需要做衍射传播计算。

常见难点

边界处单位特征值还不够

容易误解特征值的模为一，光束就一定被稳稳地约束住了。

正确理解边界上不可对角化的映射，可能让位移按多项式增长。精确共焦的映射可以对角化，但它是退化的，对不对称的扰动很敏感。

光线与 Gaussian 是不同检验

容易误解一条光线存活就证明整个模式能通过。

正确理解一条光线能穿过光阑，同一个光阑却可能挡掉 Gaussian 光束相当一部分功率。积分损耗和光线状态回答的是不同问题。

光阑损耗不是场解

容易误解截断后的腔仍保持完全相同的 Gaussian 本征模。

正确理解读数积分的是未变形的 Gaussian 参考。损耗一大，衍射会改变模式形状，这个假设就不成立了。

动手实验

01
把矩阵和光线轨迹联系起来
在“稳定对称腔”中追迹 32 次单程。只改初始高度或角度，再追迹一次。
你会看到： Gaussian 模式不变；测试光线换了一条有界轨道，除非被光阑挡住。
02
检验精确共焦
选择“精确共焦腔”，步进四次；再只把一面镜的曲率半径改一厘米，加或减都试试。
你会看到： 精确共焦时光线重复。只改一面镜，腔落到边界上，映射成为 Jordan 型，偏差越积越大；两面镜都继续改，腔可能进入不稳定的楔形区域。
03
看看边界上的腔
比较“平行平面边界”“半球边界”和“同心边界”，都用同一个非零初始角度追迹。
你会看到： 重复特征值的模可以为一，偏差却照样积累。这些边界情形不是共焦腔，不给它们指定有限的 Gaussian 模式。
04
区分稳定与截断
比较“接近同心”和“稳定但截断”两个预设。沿腔移动光阑，再增大波长。
你会看到： 靠近边界时，Gaussian 光斑可能很大。改变光阑或波长，截断会变，几何稳定性乘积不变。

稳定谐振腔几何

谐振腔必须重现自己的横向场