L15 · 布居、光子与响应

激光动力学与弛豫振荡

激光为什么先过冲，再趋稳？ 能量在两样东西之间来回倒：反应慢的粒子数反转，和反应快的腔内光场。光先冲过头，把反转耗掉，随即跌下来，等反转恢复又涨回去，摆幅越来越小。B 类激光就这样出现阻尼弛豫振荡；A 类激光没有这个慢的储能环节，直接平稳下来。

启动激光、给泵浦一个小阶跃，或者正弦调制泵浦，看反转和光子怎样来回交换能量。比较 A 类和 B 类激光在这三种情况下的响应，其中正弦响应可以实际测量。

演化时间 $\text{—}$

阈值归一反转 $\text{—}$

归一光子密度 $\text{—}$

瞬时输出功率 $\text{—}$

无调制稳态输出参考 $\text{—}$

本次实验最大输出 $\text{—}$

首次半稳态启动时间 $\text{—}$

阻尼特征频率 $\text{—}$

极点衰减速率 $\text{—}$

布居与光子寿命比 $\text{—}$

时间尺度区域 $\text{—}$

线性化相对响应 $\text{—}$

线性化输出相位 $\text{—}$

测得相对响应 $\text{—}$

测得输出相位 $\text{—}$

模型是均匀的四能级单模强度模型，假定极化弛豫比布居和光子都快。反转以无调制时的阈值为单位；光子密度经过缩放，稳态值等于泵浦减一。寿命单位是微秒。泵浦是以阈值为单位的注入速率，不是光功率或电功率。阈值反转储存的能量取示例值十微焦耳，基础光子损耗中有百分之六十从输出镜出去。运行从一个有限的初始光子种子开始，此后没有持续的自发辐射，也没有随机事件。两条速率方程用自适应步长倍增的 Runge–Kutta 方法同时积分，积分变量取光子密度的对数。A 类极限要求布居弛豫远快于光子衰减；B 类正好相反。特征值完整保留了阻尼。阻尼振荡频率为零，说明极点是实数，并不是说激光没有响应。小信号曲线是在阈值以上、无调制的稳态附近单独做的线性化。测量点是暂态消失后，把有限深度调制下的输出直接投影到正弦上得到的。重置或改动任何物理控制都会清除测量。百分之五阶跃从稳态出发，同时把调制设为零，泵浦不会超过上限。“完整启动”至少推进三十个布居寿命。装置是示意图，取整的标记和对数亮度只用于显示。模型不含空间变化、相干极化动力学、多模竞争、热效应和探测器噪声。

先抓重点

核心问题: 输出受扰动后，什么时候会边振荡边衰减？
一句话直觉: B 类激光里，能量在响应慢的布居和衰减快的光子之间来回交换。A 类激光的布居弛豫太快，不再是慢的储能变量。

核心数学模型

反转与光子的归一速率方程

\begin{aligned}\dot D&=\frac{r(t)-D-DS}{\tau_L}\\\dot S&=\frac{(D-1)S}{\tau_p}\end{aligned}

同一个受激辐射项既消耗布居，又增加光子。归一光子变量不是以瓦为单位的功率。

阈值上下的稳态

\begin{aligned}D_s&=1,\quad S_s=r-1\quad(r>1)\\D_s&=r,\quad S_s=0\quad(r\le1)\end{aligned}

这个稳态假定泵浦恒定，忽略自发辐射持续提供的种子。

线性化方程的极点

\begin{aligned}s_\pm&=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}\\\gamma&=\frac{r}{2\tau_L}\\\omega_0^2&=\frac{r-1}{\tau_L\tau_p}\end{aligned}

极点为实数时，激光不振荡地弛豫；极点为复数时，出现阻尼振荡。两种说法都只适用于阈值以上。

阻尼振荡频率与两类激光

\begin{aligned}f_d&=\frac{\sqrt{\max(0,\omega_0^2-\gamma^2)}}{2\pi}\\\text{A: }\tau_L&\ll\tau_p\\\text{B: }\tau_p&\ll\tau_L\end{aligned}

两类都假定极化弛豫还要快得多。泵浦足够强时，B 类激光也会过阻尼。

对小泵浦调制的响应

\begin{aligned}H(s)&=\frac{\delta S/S_s}{\delta r/r}\\&=\frac{r/(\tau_L\tau_p)}{s^2+(r/\tau_L)s+\omega_0^2}\\H(0)&=\frac{r}{r-1}\end{aligned}

响应等于输出的相对变化除以泵浦的相对变化。在阈值附近，它的低频值不等于一。

换算成能量和功率

\begin{aligned}E_g&=E_0D\\U&=E_0\frac{\tau_p}{\tau_L}S\\P_{\rm out}&=\eta\frac{U}{\tau_p}\\\dot E_g+\dot U&=\frac{E_0}{\tau_L}(r-D-S)\end{aligned}

示例阈值能量确定瓦数尺度。泵浦输入减去布居衰减和光子逃逸，就是储能的变化率。

常见难点

响应峰不是腔模

容易误解响应峰一定是光学纵模共振。

正确理解这个频率来自布居和光子之间的能量交换，比光的频率低得多。

激光分类看时间尺度

容易误解固体激光器天然都属于 B 类。

正确理解分类要看模型里各个弛豫时间谁快谁慢，而且前提是极化已经足够快。

测量点不必落在曲线上

容易误解调制深度有限的测量点，应该正好落在线性曲线上。

正确理解曲线假定调制无穷小；测量点来自对完整非线性方程的积分。

动手实验

01
观察启动
选“B 类储能”，按“完整启动”。把这次首次启动和后面的泵浦阶跃实验比较。
你会看到： 从微弱种子出发，光先要等布居积累起来；随后受激辐射消耗反转，输出冲过了头。
02
扰动稳态激光
按“施加百分之五泵浦阶跃”，再换成“A 类快速布居”重复一次。
你会看到： B 类输出来回振荡；A 类输出直接跟上阶跃，没有弛豫共振。
03
在共振附近测量
选“弛豫附近调制”，按“测量调制”，把棕色点和曲线对比。
你会看到： 泵浦只调制一点点，输出的相对起伏却可以大得多。
04
超出小信号范围
加大调制深度、选“阈值附近”，或者选“快速调制”。
你会看到： 模拟响应可能偏离线性预测；调制太快时，响应被强烈滤掉。