L30 · 跟随相位，直到频谱出现

激光线宽与相位噪声

相位噪声如何变成激光线宽？ 相位在随机游走，隔得越久，光场越记不住原来的相位，相干性一点点丢掉，频谱就展宽成有宽度的谱线。测出的线形取决于噪声类型、拍频用的参考激光和观测时间，单看一次频谱的最高点说明不了问题。

让激光相位做一次可复现的随机漫步，再看由它算出的拍频谱、频率噪声谱密度和相干性。改变光子寿命、输出功率、技术噪声和观测时长，比较结果。

累计采集时间 $\text{—}$

请求观测时长 $\text{—}$

所选理想量子线宽 $\text{—}$

平均腔内光子数 $\text{—}$

冷腔功率线宽 $\text{—}$

激光白扩散线宽 $\text{—}$

单独仅白噪声拍频半高全宽 $\text{—}$

单独白频率噪声底 $\text{—}$

单独白噪声相干时间 $\text{—}$

采集复数样本 $\text{—}$

光学谱格点间距 $\text{—}$

四段窗 PSD 格点间距 $\text{—}$

采集半功率谱宽 $\text{—}$

采集平均拍频频率 $\text{—}$

采集频率增量均方根 $\text{—}$

最大延迟处采集相干幅度 $\text{—}$

主要选定机制 $\text{—}$

L30

相位噪声如何变成激光线宽？

激光输出功率

P_{\rm out}

0.5\,\mathrm{mW}

总腔光子寿命

\tau_p

0.2\,\mathrm{ns}

附加白扩散线宽

\Delta\nu_w

0\,\mathrm{kHz}

相关频率噪声均方根

\sigma_f

0\,\mathrm{kHz}

频率噪声相关时间

\tau_c

0.2\,\mathrm{ms}

振动频率摆幅

A_v

0\,\mathrm{kHz}

振动音频率

f_v

10\,\mathrm{kHz}

独立参考线宽

\Delta\nu_r

0\,\mathrm{kHz}

二次幂记录长度

\log_2 N

13

可复现噪声实现

s

23

细节：待测激光、接收器、参考

j

0

先比较短记录和长记录，再加入参考线宽。拍频里有两台激光的噪声，有限记录里的一个 FFT 峰，定不出其中任何一台的线宽。

这是一个教学模型：单模激光、好腔、振幅固定，只跟踪相位扩散，波长假定为一千零六十四纳米。增益介质理想且完全反转，进入激光模式的自发辐射速率等于光子损耗速率；输出损耗占总损耗的一半。腔内平均光子数由输出功率和光子寿命决定。Lorentzian 半高全宽按 Schawlow–Townes 型约定计算：损耗速率除以四倍圆周率，再除以这个光子数。这种理想标度不是半导体激光、坏腔激光或多模激光的通用公式。模型不含 Henry 线宽增强、不完全反转、非正交模式、振幅噪声和激光热动力学。待测激光和参考各带一份独立的白相位扩散，两者的 Lorentzian 宽度在拍频里相加。额外的技术频率噪声是平稳的 Ornstein–Uhlenbeck 过程，均方根和相关时间给定；每一步的噪声值和它的时间积分按精确的 Gaussian 协方差一起抽样。正弦振动按解析式积分。伪随机 Gaussian 增量用固定种子生成，结果可以复现；这是模拟，不是实测数据，也不逐个模拟自发辐射光子。理想相干光学混频器以每秒一百万个样本记录两个正交分量，标称拍频为正的五十千赫。模型里的相位展开是完美的，不模拟真实接收器的相位滑移、散粒噪声和抗混叠电路。光学谱对采集到的复数样本加 Hann 窗。单边频率噪声 PSD 把相位增量分成四段互不重叠、去掉均值的 Hann 窗再平均，所以频率格点间距粗四倍。所有诊断都来自同一段冻结的记录。对称半功率谱宽是在这段有限记录上量出来的，不是 Lorentzian 半高全宽拟合。场相干性是有限记录上的延迟平均，长延迟处统计不确定性仍然较大。绿色相干曲线是单独的参考，只含白噪声。连续频率噪声参考包含平稳相关噪声，但不含振动谱线和有限采样效应，只能在远低于 Nyquist 频率处比较。改变观测时长会改变分辨率和统计起伏；源参数完全相同，不同的噪声实现也会不一样。空间布局和光的颜色都是示意。

先抓重点

核心问题: 相位噪声如何变成激光线宽？
一句话直觉: 谱线什么形状，要看噪声属于哪一类、参考激光怎样、观测了多久；只看 FFT 最高的那一格说明不了问题。

核心数学模型

理想量子极限线宽

\begin{aligned}\bar n&=\frac{P_{\rm out}\tau_p}{\eta_{\rm out}h\nu}\\\Delta\nu_q&=\frac{1}{4\pi\bar n\tau_p}\\\eta_{\rm out}&=\frac12\end{aligned}

这里假设增益介质理想：每过一个光子寿命，自发辐射就往激光模式里补进一个光子。前面的系数依赖这些假设，并不适用于所有激光器。

相位扩散与拍频线宽

\begin{aligned}d\phi&=2\pi f_b\,dt+\sqrt{2D}\,dW\\D&=\pi\Delta\nu_w\\\Delta\nu_b&=\Delta\nu_l+\Delta\nu_r\end{aligned}

激光和参考各有一份独立的白相位噪声，两者的线宽在拍频里相加。

带相关时间的技术噪声

\begin{aligned}dX&=-\frac{X}{\tau_c}\,dt+\sqrt{\frac{2\sigma_f^2}{\tau_c}}\,dW\\\langle X(t)X(t+\tau)\rangle&=\sigma_f^2e^{-|\tau|/\tau_c}\end{aligned}

这种频率噪声是平稳的，前后大约在一个相关时间内彼此相关。模型把噪声和它积累出的相位一起推进，所有频谱都来自同一段记录。

白噪声与有色噪声的谱密度

\begin{aligned}S_{\nu,w}(f)&=\Delta\nu_b/\pi\\S_{\nu,c}(f)&=\frac{4\sigma_f^2\tau_c}{1+(2\pi f\tau_c)^2}\\S_\nu&=S_{\nu,w}+S_{\nu,c}\end{aligned}

绿色曲线是单边连续参考，不含振动谱线和采样效应。实测 PSD 由记录下来的相位增量算出。

相位扩散决定相干性

\begin{aligned}|g^{(1)}(\tau)|&=e^{-\pi\Delta\nu_b|\tau|}\\\tau_{\rm coh}&=1/(\pi\Delta\nu_b)\end{aligned}

这条指数曲线是只有白噪声时的系综平均。从一段有限记录按延迟平均出来的相干性，可能偏离这条曲线。

记录信号的频谱

\begin{aligned}z_n&=e^{i\phi_n}\\S_z(f)&\propto|\operatorname{DFT}(w_nz_n)|^2\\\delta f_{\rm opt}&=1/(N\Delta t)\\\delta f_{\rm noise}&=4\delta f_{\rm opt}\end{aligned}

光学谱对整段记录加一个 Hann 窗；频率噪声 PSD 把四段较短的窗平均。半功率谱宽直接在频谱上量出，不是拟合的半高全宽。

常见难点

一个线宽描述所有噪声

容易误解每条宽谱线都是 Lorentzian，最高那一格附近的宽度就是激光的本征线宽。

正确理解有色噪声和振动会改变谱线形状。报一个宽度之前，先讲清楚观测了多久、用的是哪种宽度。

拍频只测待测激光

容易误解读拍频时，可以不管参考激光的噪声。

正确理解两台独立激光的白噪声线宽在拍频里相加。除非确知参考很安静，拍频没法单独给出任何一台的线宽。

动手实验

01
改变功率和光子寿命
用同一个种子，分别采集“理想量子缩放”“更高功率”“更短光子寿命”三个预设。
你会看到： 功率越高，理想相位扩散越慢；光子寿命越短，扩散越快。
02
加入技术噪声
采集“相关漂移”“振动边带”“有噪声参考”三个预设。
你会看到： 三种噪声留下的痕迹不同：漂移让相位慢慢漫游，振动带来分立的边带，有噪声的参考把拍频展宽。
03
改变记录长度
先比较短记录和长记录，再点“更换噪声实现”。
你会看到： 表观谱宽随频率分辨率变化，每换一次随机实现也会有起伏。