L23 · Kerr 透镜与色散

Ti:Sapphire 超快振荡器

超短脉冲在腔里一圈圈往返，靠什么一直不散？ 增益要补上每圈损失的能量，脉冲也要恢复原来的形状。Kerr 自聚焦配合合适的孔径，能让强峰少损失；色散和随强度变化的相位再一起塑造脉冲。达到平衡，才可能维持局域短脉冲。

比较已经形成的短脉冲、窄增益、正色散和去掉等效 Kerr 孔径后的状态。同一个计算场给出频谱、输出包络和强度自相关。

计算往返次数 $\text{—}$

耦合后腔内能量 $\text{—}$

每次往返提取能量 $\text{—}$

腔内峰值功率 $\text{—}$

主峰半高全宽 $\text{—}$

强度均方根时宽 $\text{—}$

零相位参考半高宽 $\text{—}$

去整体相位场变化 $\text{—}$

窗口外缘能量比例 $\text{—}$

采集自相关点数 $\text{—}$

采集往返位置 $\text{—}$

采集自相关半高宽 $\text{—}$

包络状态 $\text{—}$

频谱边缘能量比例 $\text{—}$

L23

超短脉冲在腔里一圈圈往返，靠什么一直不散？

显示完整时间窗口查看卫星脉冲及边界占据，同时保留场与采集记录。小信号对数增益

g_0

0.38

增益谱半高宽

\Delta\nu_g

40\,\mathrm{THz}

净群延迟色散

\phi_2

-80\,\mathrm{fs^2}

非线性相位系数

\gamma

1.2\,\mathrm{\frac{rad}{MW}}

Kerr 孔径损耗深度

q_0

0.12

输出透射率

T

0.05

固定载频波长

\lambda_0

800\,\mathrm{nm}

比较“平衡脉冲”和“窄增益”，再去掉孔径查看完整时间窗口。自相关会自动采集；继续计算在高级参数里。

这是一个确定性的教学模型，计算标量复包络。它包括 Gaussian 种子、代数饱和增益、Gaussian 增益谱、固定被动损耗、等效的快速 Kerr 孔径、自相位调制、群延迟色散和输出耦合镜。理想波长选择器固定载频；载频处的增益取一个以 800 纳米为中心的示例宽包络。增益和非线性参数只是示例，不是对某台钛宝石器件的拟合。Kerr 孔径代表随强度变化的空间裁切；模型不求解横向腔和热透镜，也不求实际孔径半径。周期窗口有 2048 点，间隔一飞秒，跨 2.048 皮秒，只装下局部脉冲包络，不是整个腔周期；这个近似失效时，边缘能量会给出提示。模拟从 120 飞秒、一纳焦的种子出发，所以证明不了激光能从自发噪声中自行启动。每次往返依次施加按固定能量估算的增益、对称的增益与色散步骤、瞬时 Kerr 损耗和相位，最后输出耦合；能量不做归一化。场变化只扣除整体相位；残差小说明这是该映射的稳态，不是一般意义上的稳定性证明。频谱边缘能量提示频率网格不够用；主峰内采样点少于八个，也会提示采样不足。主峰半高宽可能漏掉卫星脉冲，要同时看均方根时宽、完整窗口和频谱。采集的强度自相关是对计算数据做的非循环积分。零相位时宽是独立的理想参考，不是反演结果。模型不考虑重复频率、增益恢复、量子噪声、载波包络相位和像散。每次选择会计算两千次往返并采集自相关；回放只移动输运示意。输出光体取耦合后的强度，并按输出镜透射比例换算。延迟时间在长度上非线性压缩，亮度按固定对数映射显示。环形腔里的输运不表示各元件内的局部脉冲形状。理想输出监测器不模拟探测器带宽、饱和与电压响应。

先抓重点

核心问题: 超短脉冲在腔里一圈圈往返，靠什么一直不散？
一句话直觉: 增益、损耗、滤波、非线性相位和色散彼此平衡，脉冲每次往返后才能保持原样。

核心数学模型

增益取决于脉冲能量和固定载频

\begin{aligned}E&=\int |A(t)|^2\,dt\\ g(E)&=\frac{g_0h}{1+E/E_s}\\ h&=\exp[-4\ln 2\,(d/b)^2]\\ d&=\nu_0-\nu_{800}\\ b&=100\,\mathrm{THz}\end{aligned}

饱和能量为十纳焦。每次往返中增益保持不变，模型不求解反转恢复。

线性半步

\begin{aligned}\widetilde A\prime&=\widetilde A\,e^{u-iv}\\u&=\frac{g(E)H(\nu)-\ell}{4}\\v&=\frac{\phi_2\Omega^2}{4}\end{aligned}

两个半步夹住瞬时非线性元件。Gaussian 增益谱的频率半高宽由用户设定，被动强度对数损耗为 0.08。

等效 Kerr 孔径与相位

\begin{aligned}A\prime&=A\,e^{-q(P)/2-i\gamma_\lambda P}\\q(P)&=\frac{q_0}{1+P/P_a}\\\gamma_\lambda&=\gamma\,\frac{800\,\mathrm{nm}}{\lambda_0}\end{aligned}

孔径饱和功率为五十千瓦。这里用时间上的损耗代替空间裁切，不计算真实的 Kerr 透镜半径。

每次往返后的输出耦合

\begin{aligned}A_{n+1}&=\sqrt{1-T}\,A_{\rm before\,coupler}\\ E_{\rm out}&=\frac{T}{1-T}E_{n+1}\end{aligned}

图中包络取在输出耦合镜之后的腔内位置。输出多少能量、留下多少能量，都由同一个耦合镜透射率决定。

计算脉冲的强度自相关

C(\tau)=\int P(t)P(t+\tau)\,dt

记录窗口外的场取为零。Gaussian 脉冲的自相关宽度是原宽度的根号二倍；任意形状的脉冲，却不能从自相关唯一反推出来。

窗口边缘的能量

\epsilon_{\rm edge}=\frac{\int_{\rm outer\,10\%}P(t)\,dt}{E}

边缘能量、均方根时宽和去整体相位后的场变化，要放在一起看。一个短峰可能只是展宽或分裂场的一部分；这些量能帮助判断脉冲是否孤立、是否达到稳态。

常见难点

主峰短不等于脉冲好

容易误解只要主峰够短，脉冲质量就没问题。

正确理解还要看卫星脉冲、均方根时宽、数值网格边缘的能量，以及独立的理想参考。

动手实验

01
比较准备好的脉冲
先选“平衡脉冲”，再选“窄增益”。每个预设会自动计算两千次往返，并采集各自的强度自相关。
你会看到： 增益光谱变窄，能维持的脉冲也变宽。把主峰宽度、频谱和下方的形成历史放在一起比较。
02
拿掉脉冲选择
选择“去除 Kerr 孔径”，在高级参数里打开“显示完整时间窗口”。
你会看到： 能量开始散布到局部周期窗口各处。边缘能量比例能区分这种场与默认局域脉冲，不能只盯着其中一个短峰。
03
分清回放与新计算
不改参数，暂停回放；再到高级参数里选择“再计算 1000 次往返”。
你会看到： 暂停只冻住输运示意。主动继续计算才推进映射，并重新采集自相关；把自相关宽度换成脉宽，仍需要知道脉冲形状。