L18 · 标定光学尺

光学频率梳

要把频率梳当成量光频的尺子，得先测出什么？ 先测齿距和共同偏移。齿距就是脉冲重复频率；把低频端一根齿倍频，再和序号为它两倍的梳齿拍频，就能分离出偏移。测未知激光，还要认定齿序，分清拍频的正负。

计数重复频率和偏移信号，再重建目标光频。比较谱域不足、记录太短和齿序不确定的结果。

射频采集次数 $\text{—}$

脉冲重复周期 $\text{—}$

均匀频带脉宽参考 $\text{—}$

理想偏移频率 $\text{—}$

每脉冲载波相位滑移 $\text{—}$

支持的光学梳齿数 $\text{—}$

支持的倍频对应齿 $\text{—}$

最近目标梳齿序号 $\text{—}$

带符号理想目标拍频 $\text{—}$

计数重复频率 $\text{—}$

计数偏移频率 $\text{—}$

重建目标频率 $\text{—}$

传播后的计数误差 $\text{—}$

采集状态 $\text{—}$

L18

要把频率梳当成量光频的尺子，得先测出什么？

脉冲重复频率

f_{\rm rep}

100\,\mathrm{MHz}

偏移占重复频率的比例

\alpha

0.2

频带几何中心

\nu_c

250\,\mathrm{THz}

最高与最低频率之比

R_\nu

2.2

未知目标频率

\nu_{\rm target}

250.000037\,\mathrm{THz}

粗先验半宽

\delta\nu

10\,\mathrm{MHz}

射频记录窗口

T_{\rm RF}

400\,\mathrm{ns}

光学放大图显示梳齿的精确位置。单看拍频大小，既定不了符号，也定不了齿序，所以本实验直接给出理想的带符号拍频和粗先验。

进入页面或改变物理参数，会对新的理想采样射频记录计数；回放只移动通道标记。射频图显示同一个 4097 点窗口的前五十纳秒，计数使用整个窗口。支路理想选出指定的两根梳齿，不计算全梳光电流、光学功率和分光损耗。高频对应齿缺失时，倍频光仍可到达探测器，只是选定的偏移拍频缺失。精密读数保留额外有效位，便于观察大齿序的误差放大。

这是理想的稳态梳：各齿功率相等、相位平直，频谱到边缘处突然截止。频带中心取上下边缘的几何平均，谱域比是梳内最高频率与最低频率之比。重复频率单位为兆赫，光学频率单位为太赫兹。偏移频率按重复频率的比例设定，取值从零到一个重复频率（不含）。每根齿都位于重复频率的整数倍再加上同一个偏移。载波快照用有限和的精确闭式解计算，所以和显示的频谱一致。脉宽读数是连续极限下平方 sinc 的半高全宽，梳齿数量很大，可以拿它作参考。自参考需要一根真实存在的齿，以及序号为它两倍的另一根齿。梳齿是离散的，所以几何谱域刚好一个倍频程，也可能通不过这项检验。两根齿都存在时，两支路才在同一个理想光电探测器上重叠，它们的差频给出偏移频率。重复频率取样信号和偏移信号是选出的理想射频分量，在所选记录窗口内采样 4097 点。计数器找插值后的向上零交叉，至少需要两个。偏移恰好为零时，按已知的理想直流情形处理，不模拟真实仪器怎样辨识零偏移。重建还要求目标落在梳的频谱范围内，并提供一个比半个齿距更窄的粗频率先验。显示的带符号目标拍频和整数齿序都是理想的已知输入；光电探测器本身只测拍频大小，定不了符号。重建把有限的计数误差经过大齿序传递下去，显示由此产生的频率误差。这个先验只是教学用的充分条件，不是贝叶斯齿序估计。改变控制会用新计数的理想射频记录替换旧采集。模型不含伺服、外部时钟误差、随机噪声、非线性传播和相位匹配效率，也不宣称达到实验室精度。光路布局和尺寸都是示意。

先抓重点

核心问题: 什么会让绝对频率重建不出来？
一句话直觉: 把梳低频端的一根齿倍频，再和序号正好两倍的那根齿拍频，重复频率抵消，只剩下偏移频率。

核心数学模型

光学尺有两个坐标

\begin{aligned}\nu_n&=nf_{\rm rep}+f_{\rm CEO}\\0&\le f_{\rm CEO}<f_{\rm rep}\end{aligned}

只知道齿距，尺的起点仍然不知道。

脉冲之间的载波相位滑移

\begin{aligned}T_R&=1/f_{\rm rep}\\\Delta\phi_{\rm CE}&=2\pi f_{\rm CEO}/f_{\rm rep}\end{aligned}

每个脉冲的包络都一样，包络下面的载波相位却可以往前挪。

倍频自参考齿对

\begin{aligned}2\nu_n-\nu_{2n}&=2(nf_{\rm rep}+f_{\rm CEO})\\&\quad-(2nf_{\rm rep}+f_{\rm CEO})\\&=f_{\rm CEO}\end{aligned}

两根原始齿都必须落在梳的频谱范围内；倍频过程按理想处理。

对射频记录计数

\widehat f=\frac{K-1}{t_K-t_1},\qquad K\ge2

计数器对向上的零交叉做插值。记录太短时，结果报为未分辨。

用已知齿序重建目标频率

\begin{aligned}\widehat\nu_{\rm target}&=n\widehat f_{\rm rep}+\widehat f_{\rm CEO}+b\\\delta\nu&=n\delta f_{\rm rep}+\delta f_{\rm CEO}\end{aligned}

这里直接给出带符号的理想拍频。齿序很大，重复频率上一点计数误差，就会放大成很大的光频误差。

有限个等功率梳齿的光场

\begin{aligned}A(\tau)&\propto\frac{\sin(N\pi f_{\rm rep}\tau)}{N\sin(\pi f_{\rm rep}\tau)}\\\Delta t_{1/2}&\simeq\frac{0.886}{\Delta\nu}\end{aligned}

脉冲快照用精确的有限和计算；脉宽读数用多齿的连续极限作参考。

常见难点

缺少一个坐标

容易误解知道齿距，就知道了所有光学频率。

正确理解整把梳可以平移而齿距不变；偏移频率告诉你它平移了多少。

光电拍频有符号歧义

容易误解从拍频大小就能看出目标在梳齿哪一侧。

正确理解目标在梳齿上方或下方同样距离，光电探测器给出的拍频一样。本理想模型直接给出符号；真实仪器需要额外的鉴别手段。

动手实验

01
观察载波滑移
选择“半周期相位滑移”，比较三个脉冲快照。
你会看到： 包络一再重复，载波却每个脉冲变一次号。
02
看自参考怎样失败
比较默认载入的“支持自参考”记录与“缺少倍频谱域”。
你会看到： 频谱里没有一根齿和它的两倍序号齿同时存在时，记录不到偏移拍频。
03
对射频记录计数
先看默认记录的计数值，再选“记录太短”；点“采集射频记录”可重复采集。
你会看到： 零交叉太少，偏移频率分辨不出来。
04
检验齿序歧义
试“齿序不确定”预设，再减小“粗先验半宽”。
你会看到： 射频拍频再精确，单凭它也认不出目标挨着哪根光学梳齿。

光学频率梳

测量尺的两个坐标

核心数学模型

光学尺有两个坐标

脉冲之间的载波相位滑移

倍频自参考齿对

对射频记录计数

用已知齿序重建目标频率

有限个等功率梳齿的光场

常见难点

缺少一个坐标

光电拍频有符号歧义

动手实验

观察载波滑移

看自参考怎样失败

对射频记录计数

检验齿序歧义

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