L21 · 分布式增益与反馈

光纤激光与 FBG 腔

光纤越长，有用输出就越多吗？ 不会。泵浦光沿光纤一路被吸收，到某处就耗尽了；再往后的光纤只添损耗，不给增益。两端的光栅还得反射同一个波长，输出光栅的波长一偏，反馈可能整个断掉。

在两支光纤 Bragg 光栅之间搭一台光纤激光器，查看光纤上任意位置的泵浦和信号功率，再测输出随泵浦的变化。移动输出光栅，拿掉固定激光波长处的反馈。

前端信号输出 $\text{—}$

后端信号逸出 $\text{—}$

吸收泵浦 $\text{—}$

残余泵浦 $\text{—}$

零场往返对数裕量 $\text{—}$

镜面边界相对误差 $\text{—}$

固定波长处的输出镜反射率 $\text{—}$

裸光纤纵模间隔 $\text{—}$

探针位置 $\text{—}$

局部激发比例 $\text{—}$

局部泵浦功率 $\text{—}$

局部正向信号 $\text{—}$

局部反向信号 $\text{—}$

局部净强度增益 $\text{—}$

量子亏损最低通道 $\text{—}$

正向非线性相位诊断 $\text{—}$

采集泵浦设定数 $\text{—}$

采集的末段斜率 $\text{—}$

固定模式分支 $\text{—}$

这是一个稳态、单波长的教学模型，参数类似镱。每一点上，两个能级流形之间的平衡与一束正向泵浦和双向传播的信号光耦合。泵浦波长为 976 纳米，信号固定在 1064 纳米。掺杂浓度、截面和寿命是固定的示例参数，不是拟合某款商用光纤。纤芯均匀掺杂；泵浦充满固定的 125 微米包层，信号重叠因子为 0.8。模型包含泵浦波长处的受激辐射和信号的再吸收。沿光纤做四阶积分，并对信号振幅打靶，满足两支 FBG 的功率边界条件。低于零场阈值时相干信号为零；不考虑荧光和 ASE。后光栅强度固定为四，输出光栅强度可调；两支都是长一厘米、折射率 1.45 的无损均匀光栅。信号始终在后光栅的 Bragg 波长上。移动前光栅只改变它在这个波长上的反射，模型不求解波长选择，也不求解纵模竞争。探针读取的是同一个稳态分布。一次扫描的 21 个点各是一次独立的边界求解，不是硬件实测，也不是启动过程；斜率取最后一瓦的增量。量子亏损读数只表示被吸收泵浦光子与信号光子的能量差决定的最低功率，不是总热量，也不是温度。正向非线性相位用示例的二氧化硅非线性折射率积分得到，只作诊断：它不反过来影响线性腔，不预测损伤阈值，也不模拟 Raman、Brillouin、热或模式不稳定性。装置图把光纤拉直，放大了纤芯和光栅周期，并用可见颜色表示红外光。

先抓重点

核心问题: 光纤越长，有用输出就越多吗？
一句话直觉: 沿光纤的增益加上两支光栅的反射，要让信号往返一次后回到原来的功率，激光才能运行。

核心数学模型

每一点的布居平衡

\begin{aligned}f&=\frac{W_{pa}+W_{sa}}{W_{pa}+W_{pe}+W_{sa}+W_{se}+\tau^{-1}}\\ W_{jk}&=\frac{\Gamma_j\sigma_{jk}P_j}{h\nu_j A}\end{aligned}

吸收把布居送上上流形，受激辐射和自发辐射让它减少。这里的信号功率是两个方向之和。

同一布居决定泵浦吸收和信号增益

\begin{aligned}\frac{dP_p}{dz}&=-\Gamma_pN[\sigma_{pa}(1-f)-\sigma_{pe}f]P_p\\ g_s&=\Gamma_sN[\sigma_{se}f-\sigma_{sa}(1-f)]-\alpha_s\end{aligned}

泵浦重叠等于纤芯面积除以包层面积。纤芯变大，泵浦重叠和信号强度都会改变。

双向信号与两端光栅条件

\begin{aligned}\frac{dP_+}{dz}&=g_sP_+\\\frac{dP_-}{dz}&=-g_sP_-\\ P_+(0)&=R_1P_-(0)\\ P_-(L)&=R_2P_+(L)\end{aligned}

在这个模型里，正反两个方向的功率乘积沿光纤不变。求解器调整起点的正向信号，直到输出光栅处的条件得到满足。

没有信号时的阈值

\mathcal M_0=\ln(R_1R_2)+2\int_0^L g_{s,0}(z)\,dz

零场往返裕量为正时，才可能存在饱和的激射解。某一点达到透明，比整个腔达到阈值容易。

有用功率从前光栅出去

P_{\rm out}=(1-R_2)P_+(L)

让输出光栅几乎全反射，腔内功率可能升高，有用输出反而下降。

两个不影响解的诊断量

\begin{aligned}Q_{\rm qd}&=\left(1-\frac{\lambda_p}{\lambda_s}\right)P_{p,\rm abs}\\ B_+&=\int_0^L\frac{2\pi n_2P_+(z)}{\lambda_s A}\,dz\end{aligned}

第一个是被吸收泵浦光子与信号光子的能量差决定的最低功率；第二个是正向信号积累的非线性相位。两者都不改变当前的稳态腔解，也都不是高功率求解器。

常见难点

光纤越长越好

容易误解光纤越长，吸收的泵浦越多，输出必然增加。

正确理解末段几乎得不到泵浦，再加上背景损耗，足以抵消多出来的吸收。

光栅失配就不会出光

容易误解两支光栅波长错开后，泵浦再强也无法激射。

正确理解这个固定波长模型只检查增益能否压过损耗，增益够大时可以弥补较弱的反射。其他波长不在求解范围内。

动手实验

01
破坏并恢复反馈
选“光栅失配”，再把输出 Bragg 偏移设为零。
你会看到： 变的只是输出光栅在固定信号波长处的反射。
02
沿光纤追踪功率
在“工作腔”和“长光纤”两个预设下，用探针位置比例沿光纤移动探针。
你会看到： 残余泵浦、局部激发和反向信号都来自同一个解。
03
测量有用输出
分别在“工作腔”和“输出近乎封闭”下按“采集泵浦扫描”。
你会看到： 腔内储存的信号和有用输出不一定一起增加。