L26 · 相位匹配与能量交换

非线性频率转换

更长的晶体总能产生更多新光吗？ 未必。相位失配时，不同深度生成的光会互相抵消；匹配的和频过程也可能把能量送回输入波。只有一束基频输入的匹配倍频，则逐渐接近转换极限。光束走离、重叠变差，也会让额外长度不再有用。

看输入光在晶体里减弱、新频率逐渐长出来。比较自动记录的深度曲线与角度扫描，再试和频回转换或有种子差频。

所选过程 $\text{—}$

寻常波 1 波长 $\text{—}$

寻常波 2 波长 $\text{—}$

非寻常波 3 波长 $\text{—}$

生成通道波长 $\text{—}$

实际内部光轴角 $\text{—}$

波矢失配 $\text{—}$

相干长度 $\text{—}$

规定走离角 $\text{—}$

出口模式横向位移 $\text{—}$

所选诊断深度 $\text{—}$

当前波 1 功率 $\text{—}$

当前波 2 功率 $\text{—}$

当前波 3 功率 $\text{—}$

生成输出功率 $\text{—}$

生成功率除输入泵浦功率 $\text{—}$

深度处生成波相位 $\text{—}$

等效面积泵浦强度 $\text{—}$

最大能量平衡误差 $\text{—}$

最大光子流不变量误差 $\text{—}$

采集角度扫描点 $\text{—}$

采集生成输出 $\text{—}$

模型状态 $\text{—}$

L26

更长的晶体总能产生更多新光吗？

过程：倍频、和频、差频

m

0

泵浦波长

\lambda_p

800\,\mathrm{nm}

伙伴或信号种子波长

\lambda_s

1064\,\mathrm{nm}

输入泵浦功率

P_p

10\,\mathrm{MW}

伙伴或信号种子功率

P_s

3\,\mathrm{MW}

晶体长度

L

2\,\mathrm{mm}

相对参考的内部角度偏移

\delta\theta

0\,\mathrm{{}^\circ}

晶体温度

T

20\,\mathrm{{}^\circ C}

等效模式半径

w

0.5\,\mathrm{mm}

假定有效非线性系数

d_{\rm eff}

2\,\mathrm{\frac{pm}{V}}

走离：平面波或有限重叠

\eta_\rho

1

伙伴或信号种子相位

\phi_s

0\,\mathrm{{}^\circ}

诊断深度比例

z/L

100\,\mathrm{\%}

先看自动记录的匹配转换，再让内部角度偏离，或在高级参数中改变温度。和频时，晶体更长，转换出去的能量可能流回输入波。

这是无损 I 类 BBO 晶体的教学模型，所有光束沿同一直线向前传播，涵盖倍频、和频和有种子的差频。两束低频寻常波与一束高频非寻常波耦合，每束参与的场都可能被耗尽。深度沿晶体内部的传播方向计算；角度指波矢与光轴的夹角，不是外部机械支架的角度。每种过程都选用严格满足能量守恒的三个频率。主折射率由 Sellmeier 拟合给出；热光修正取线性、与波长无关的示例形式，系数来自厂家，以名义二十度为参考。角度偏移从二十度时算出的相位匹配角量起。这个热模型不是宽温区的实测标定。支持的波长范围为 220 至 2200 纳米；差频输入无法成立或不存在 I 类匹配时，会明确显示不支持。有效非线性系数是用户设定的一个标量，不求解张量和方位角依赖。场振幅按光子加权的兆瓦单位归一，用四阶方法传播；倍频计入简并波所需的因子。能量和 Manley–Rowe 残差照实报告，不对场重新归一。规定的 Gaussian 模式重叠随非寻常模式走离而降低耦合；不求解横向形变、衍射、聚焦、群速度失配、脉冲的时间形状和空间分辨的转换。半径决定等效均匀模式面积，强度是按这个约定给出的诊断量。关闭走离可得到平面波对照。差频从高频泵浦和一束相干低频种子开始，原本为空的伙伴波按经典方式生成；模型不含自发参量下转换和真空噪声。相位控制改变伙伴或信号种子的相位；生成波起初为空时，它只改变输出相位，不改变效率。晶体镀膜、吸收、热梯度、损伤和二向色镜的实际透过率都不计。数据行记录传播后的功率，并在 61 个邻近内部角度上重新运行同一个耗尽场模型，没有拿理想 sinc 曲线代替采集数据。内部深度是模型诊断量，不代表可以插进晶体的探测器。装置尺寸和波长路由只是示意。连续波功率用慢放流动标记显示，不是脉冲时间解；光体半径随所选等效模式半径变化，颜色标记波长通道。光学设置改变后，会自动记录新的深度曲线和角度扫描。

先抓重点

核心问题: 更长的晶体总能产生更多新光吗？
一句话直觉: 相位匹配让生成场同相叠加；和频发生耗尽后，还可能出现回转换。

核心数学模型

频率之和与波矢失配

\begin{aligned}\omega_3&=\omega_1+\omega_2\\\Delta k&=k_3-k_1-k_2\end{aligned}

倍频时，两个低频光子是相同的基频光子。差频则从第三波加上一束相干的低频种子开始。

内部光轴角下的非寻常折射率

\frac{1}{n_e(\theta)^2}=\frac{\cos^2\theta}{n_o^2}+\frac{\sin^2\theta}{n_e^2}

高频波是非寻常波，两束低频波是寻常波。参考角由 BBO 的 Sellmeier 拟合算出。

三个复场的耦合方程

\begin{aligned}a_1\prime&=i\kappa W a_2^*a_3e^{-i\Delta kz}\\a_2\prime&=i\kappa W a_1^*a_3e^{-i\Delta kz}\\a_3\prime&=i\kappa W a_1a_2e^{i\Delta kz}\end{aligned}

每束波都可能被耗尽。倍频时，两束低频波合成同一束，高频波方程的耦合系数减半。

功率与 Manley–Rowe 关系

\begin{aligned}P_j&=(\omega_j/\omega_r)|a_j|^2\\|a_1|^2+|a_3|^2&=C_1\\|a_2|^2+|a_3|^2&=C_2\end{aligned}

两个 Manley–Rowe 不变量适用于各不相同的波。倍频时守恒的是基频光子流加上两倍的谐波光子流。

走离造成的重叠下降

\begin{aligned}\delta x(z)&=z\tan\rho\\W(z)&=\exp\!\left[-\frac{2\delta x(z)^2}{3w^2}\right]\end{aligned}

非寻常光束横向走离时，规定的 Gaussian 重叠因子会降低耦合。这是有限光束的标量近似，不求解衍射或畸变的横向场。

倍频的平面波极限

\begin{aligned}\eta&=\tanh^2\!\left(\frac{\kappa a_0L}{\sqrt2}\right)\\\Delta k&=0,\quad W=1\end{aligned}

对无损、相位匹配的平面波，这个解析式可以独立检验数值传播。转换较弱且失配不为零时，就出现熟悉的 sinc 平方曲线。

常见难点

颜色只是标记，波长看读数

容易误解画面上光束是什么颜色，实际就是什么颜色。

正确理解颜色只用来区分模型里的通道，其中也有红外通道。每束光的物理波长要看波长读数。

角度扫描的每个点都重新运行完整模型

容易误解理想的相位匹配曲线可以代替探测器数据。

正确理解每个记录点都重新运行一次含耗尽的场模型。这些是模拟功率，不是真实硬件测出的值。

动手实验

01
比较深度与扫描
选择“匹配倍频”，深度曲线和角度扫描会自动记录。展开高级参数，再移动诊断深度。
你会看到： 诊断只读取同一传播解的不同位置，不改动已经记录的曲线与扫描。
02
让内部角度偏离
拖动内部光轴旋钮，或选择“角度失配”。“温度失配”在高级参数与更多演示里。
你会看到： 生成光变弱，深度曲线也可能振荡。频率仍满足能量守恒，只是晶体各处生成的场不再同相叠加。
03
找到回流的能量
选择“和频”，把晶体长度从两毫米加到四毫米，再试“有种子差频”。
你会看到： 和频输出可能下降，能量回到两束低频波；有种子差频则耗掉高频泵浦，放大种子的同时生成伙伴波。