L29 · 让反射光纠正频率

PDH 激光稳频

反射光能告诉激光该往哪边调吗？ 能。给激光加上调制边带，打到参考腔上，反射回来的边带和载波拍频，解调后得到误差信号，正负号就说明激光在共振的哪一侧。误差信号安静，只说明激光紧跟着参考腔，不能证明参考腔本身稳。

把带相位调制边带的光送进参考腔，解调反射光，再接通反馈。可以记录激光被拉进锁定、噪声被压低、环路振铃和失锁。

累计记录时间 $\text{—}$

腔功率线宽 $\text{—}$

假设腔传感器极点 $\text{—}$

激光减参考腔频率 $\text{—}$

激光相对固定原点频率 $\text{—}$

实际执行器修正 $\text{—}$

过滤后工厂校准误差 $\text{—}$

记录末帧反射功率比例 $\text{—}$

入射载波功率比例 $\text{—}$

每个一阶边带功率比例 $\text{—}$

相对工厂设定鉴频斜率 $\text{—}$

局部线性单位增益频率 $\text{—}$

局部线性相位裕度 $\text{—}$

单独线性扰动抑制 $\text{—}$

采集频率样本 $\text{—}$

采集 PSD 频率分辨率 $\text{—}$

采集相对腔均方根 $\text{—}$

采集绝对频率均方根 $\text{—}$

记录末帧环路诊断 $\text{—}$

L29

反射光能告诉激光该往哪边调吗？

参考腔长度

L

20\,\mathrm{cm}

腔精细度

\mathcal F

10000

EOM 调制频率

f_m

20\,\mathrm{MHz}

相位调制深度

\beta

0.5\,\mathrm{rad}

工厂混频相位

\theta

0\,\mathrm{{}^\circ}

自由激光频率偏移

\Delta f_0

120\,\mathrm{kHz}

积分增益频率设定

f_i

20\,\mathrm{kHz}

比例增益

K_p

0.6

频率执行器极点

f_a

20\,\mathrm{kHz}

自由激光扰动幅度

A_l

60\,\mathrm{kHz}

扰动音频率

f_d

5\,\mathrm{kHz}

参考腔漂移幅度

A_c

0\,\mathrm{kHz}

反馈：开环或闭环

b

1

细节：参考腔、探测器、反馈器

j

0

在同一扰动下比较开环和锁定捕获。再让参考腔漂移：环内残差很小，并不能证明激光的绝对频率稳定。

参考腔是无损对称 Fabry–Pérot 腔，反射按精确 Airy 公式计算。相位调制保留负六阶到正六阶边带；在允许的调制深度内，略去的阶次所含功率不到入射功率的十亿分之一。光学载波靠近一个腔共振，射频边带不假定为完全反射。失谐定义为激光频率减去参考腔的瞬时频率；执行器修正为正时，激光频率升高。混频符号的约定让默认的工厂校准误差在正失谐时为正。解调相位和调制深度会改变实际环路增益；误差归一化不会重新调节控制器。反馈是简化的基带 PI 环：参考腔当作一阶传感器，极点在腔功率线宽的一半，执行器另有一个可单独调节的极点。为了演示锁定捕获，模型把这个只在共振附近成立的传感器近似也用到完整的非线性静态误差曲线上；它不求解腔内瞬态复光场和射频传播延迟，也不模拟真实电子电路。执行器指令在正负六百千赫处限幅，积分器用条件积分防饱和。外加扰动是已知的正弦音，不是随机噪声，也不是实测器件噪声。单位增益频率、相位裕度和单频抑制来自单独的线性模型，只在载波共振附近且不限幅时成立；它们不能保证非线性捕获，也不能保证真实硬件稳定。程序以每秒五十万次记录五毫秒的模拟频率，取最后一段二次幂长度的样本，生成去均值的 Hann 噪声谱和冻结的残差曲线。相对腔均方根包含均值，PSD 去掉了均值。激光绝对频率从一个固定原点算起，这个原点不随参考腔移动。断开反馈时，执行器和积分器的状态保留，执行器随后回落。记录操作不打断扰动的相位。理想偏振分束器和四分之一波片把反射光送到射频探测器。射频电线和反馈电线与光路分开画出。模型不含散粒噪声、残余振幅调制、激光振幅及载流子动力学、空间模式失配、参考腔热噪声和电子噪声。距离、颜色和运动标记都是示意。

先抓重点

核心问题: 反射光能告诉激光该往哪边调吗？
一句话直觉: 反馈把激光锁在参考腔上，不是锁在绝对频率上；误差信号再安静，也证明不了参考腔本身安静。

核心数学模型

相位调制产生边带

\begin{aligned}E_{\rm in}&=E_0e^{i\omega t+i\beta\sin\Omega t}\\&=E_0\sum_n J_n(\beta)e^{i(\omega+n\Omega)t}\end{aligned}

相邻两个边带之间的拍频就是调制频率。模型保留十三个阶次。

每个频率各自反射

\begin{aligned}r(\delta)&=\frac{r_m(1-e^{i\varphi})}{1-r_m^2e^{i\varphi}}\\\varphi&=2\pi\delta/f_{\rm FSR}\end{aligned}

共振时，无损对称腔对单一频率的光完全不反射。计算里仍包含所有边带。

解调拍频

\begin{aligned}a_n&=J_n(\beta)r(\delta+nf_m)\\C_1&=\sum_n a_{n+1}a_n^*\\\epsilon_0&=-2\operatorname{Im}C_1\\\epsilon_{90}&=2\operatorname{Re}C_1\end{aligned}

混频相位决定看拍频的哪个正交分量。相位转半圈，反馈符号就反过来。

简化的 PI 反馈

\begin{aligned}\dot z&=2\pi f_i e\\\tau_a\dot u+u&=\operatorname{clip}(-K_pe-z)\\\delta&=f_{\rm free}+u-f_c\end{aligned}

滤波后的误差驱动比例修正和积分修正。执行器指令会限幅，所以积分器需要防饱和。

共振附近的线性环路

\begin{aligned}L(s)&=\left(K_p+\frac{2\pi f_i}{s}\right)GH_cH_a\\H_j(s)&=\frac{1}{1+s/(2\pi f_j)}\\S(s)&=\frac{1}{1+L(s)}\end{aligned}

这个线性模型只在载波共振附近、不限幅时成立。相位裕度为负，提示环路不稳定。

相对频率与绝对频率

\begin{aligned}f_{\rm laser}&=f_{\rm free}+u\\\delta&=f_{\rm laser}-f_c\\\delta f_{\rm bin}&=1/(N\Delta t)\end{aligned}

残差曲线和它的 Hann 频谱来自同一段冻结的频率记录。参考腔漂移时，激光的绝对频率里仍看得到这种漂移。

常见难点

无反射功率就无误差

容易误解载波穿过腔时，探测器测不到有用的误差。

正确理解仍有一小部分载波光场被反射。反射回来的边带和它拍频，拍频就带出了载波的相位。

小环内噪声证明激光稳定

容易误解误差信号安静，就说明激光的绝对频率稳定。

正确理解误差信号测的是激光相对参考腔的运动，而且依赖传感器模型。要检验绝对稳定，需要一个独立参考。

动手实验

01
检查误差符号
比较“开环”和“捕获共振”两个预设，再把混频相位反过来。
你会看到： 符号对，激光被拉向载波共振；符号错，激光被推开。
02
找出环路失效的条件
比较“慢反馈”和“不稳定闭环”两个预设，再点“扰动激光频率”。
你会看到： 误差斜率够陡还不够：环路还得稳定，执行器也得有足够的调节范围，才能捕获激光。
03
跟随运动参考
采集“参考腔漂移”预设，比较相对腔均方根和绝对频率均方根。
你会看到： 环内残差即使很小，激光也跟着参考腔一起动。