L28 · 让一个激光设定另一个的节奏

注入锁定

弱的主激光，怎样让更强的从激光跟着它的频率走？ 注入光给相对相位一个恢复作用，让它趋向稳定偏移。弱注入、噪声较小时，从激光在锁定范围内跟着主激光的频率走；注入越强，范围越宽。超出范围，相位不断滑移；靠近边界时，噪声也能让无噪声锁区内的相位滑掉。

调节失谐和注入强度，扰动相位或关闭注入。记录 I/Q 拍频谱，找出锁定在哪里变成相位滑移。

累计模型时间 $\text{—}$

无噪声锁定半宽 $\text{—}$

记录末端折回相对相位 $\text{—}$

累计相对相位圈数 $\text{—}$

确定性瞬时频率 $\text{—}$

单独长时牵引参考 $\text{—}$

无噪声稳定相位 $\text{—}$

线性化相位恢复时间 $\text{—}$

归一化同相通道强度 $\text{—}$

归一化正交通道信号 $\text{—}$

注入与从激光功率比 $\text{—}$

采集 I/Q 样本 $\text{—}$

有限记录频率分辨率 $\text{—}$

采集半功率频谱宽度 $\text{—}$

采集相对相位相干度 $\text{—}$

采集平均相对频率 $\text{—}$

模型区域 $\text{—}$

L28

弱的主激光，怎样让更强的从激光跟着它的频率走？

自由从激光减主激光频率

\Delta f

2\,\mathrm{MHz}

注入与从激光功率比

10\log_{10}\rho

-30\,\mathrm{dB}

假设场耦合速率

\kappa

100\,\mathrm{MHz}

自由从激光相位扩散线宽

\Delta\nu_s

0\,\mathrm{MHz}

初始相对相位

\phi_0

-120\,\mathrm{{}^\circ}

注入开关：关闭或开启

b

1

可复现噪声实现

s

17

细节：从激光、接收器、衰减器

j

0

用同一个种子和线宽，比较自由相位扩散和有噪声的锁定。靠近边界时，即使无噪声模型能锁定，噪声也可能造成相位滑移。

这是弱注入、固定振幅、单模的 Adler 相位模型，不是完整的半导体载流子与光子模拟。相对相位按从激光减理想主激光计算；失谐为正，表示自由运行的从激光频率更高。无噪声锁定半宽等于假设的场耦合速率，乘以注入功率与从激光功率之比的平方根。这个功率比不超过百分之一，耦合效率已并入这个示例速率。光功率和空间模式匹配保持不变。从激光的相位做白噪声扩散，扩散强度按它单独运行时的 Lorentzian 线宽选取；理想主激光没有相位噪声。伪随机 Gaussian 增量使用固定种子，每次运行都能复现；噪声轨迹只是模型的一次实现，不是实验数据。确定性参考假设时间足够长且没有噪声。在这个参考范围内，噪声仍会造成相位滑移；正好处在边界上时，恢复速率降为零。开关注入会保留当前相位，但重新开始记录和计时。理想的相干光学混频器给出两个正交分量；有符号频谱是记录的复相位样本加 Hann 窗后的变换。它是有限记录的周期图，不是画上去的理想 Lorentzian 曲线。它的半功率宽度随窗函数变化，只是频谱诊断，不是本征线宽，也不能证明硬件稳定。最多 4096 个最终样本，每秒采样四亿次，分辨率约九十八千赫。平均相对频率为零，本身并不能证明相位相干。模型不包括振幅噪声、增益饱和、线宽增强、载流子动力学、多纵模、空间注入效应、技术漂移、探测器噪声和强注入下的混沌，也不预测这些情况下的锁定边界。装置尺寸、光束颜色和走线都是示意。

先抓重点

核心问题: 弱的主激光，怎样让更强的从激光跟着它的频率走？
一句话直觉: 锁定就像作用在相对相位上的恢复力；刚出锁定范围，相位就开始周期性地滑移。

核心数学模型

弱注入相位方程

\begin{aligned}\dot\phi&=2\pi\Delta f-K\sin\phi\\K&=2\pi\kappa\sqrt{\rho}\end{aligned}

相对相位和自由失谐都按从激光减主激光计算。注入光场随注入功率的平方根增大。

锁定范围内有稳定相位

\begin{aligned}|\Delta f|&<\kappa\sqrt{\rho}\\\phi_*&=\arcsin\frac{\Delta f}{\kappa\sqrt{\rho}}\end{aligned}

取等号时恢复速率为零，边界上只是临界锁定，并不稳固。

相位恢复有多快

\begin{aligned}\tau^{-1}&=K\cos\phi_*\\\dot\epsilon&=-\epsilon/\tau\end{aligned}

靠近边缘时，小扰动衰减得很慢；大扰动可能把相位推进相邻的势阱。

锁定范围外，频率被牵引

\begin{aligned}\bar f_{\rm rel}&=\operatorname{sgn}(\Delta f)\sqrt{u}\\u&=\Delta f^2-\kappa^2\rho\end{aligned}

这是没有噪声时的长时间平均相对频率，不是瞬时的相位变化率。

自由运行时的相位扩散

\begin{aligned}d\phi&=\dot\phi\,dt+\sqrt{2D}\,dW\\D&=\pi\Delta\nu_s\end{aligned}

扩散强度按从激光单独运行时的 Lorentzian 线宽选取。锁定能拴住相对相位，但噪声仍可能引起滑移。

同时记录两个正交分量

\begin{aligned}z_n&=\cos\phi_n+i\sin\phi_n\\I_n&=1+\cos\phi_n\\\delta f&=1/(N\delta t)\end{aligned}

有符号频谱是复数样本加 Hann 窗后的傅里叶变换，宽度里包含有限观测时间的影响。

常见难点

锁定时相位必须相等

容易误解锁定就要求相对相位为零。

正确理解相位保持一个固定偏移，注入才能抵消失谐。这个稳定偏移随失谐变化。

窄 FFT 峰就是本征线宽

容易误解周期图的宽度就是激光的真实线宽。

正确理解Hann 窗、有限记录和理想无噪声主激光都会影响这项诊断。还要看相干度和相位滑移。

动手实验

01
锁定后扰动从激光
选“锁定”，再点“扰动相位”。新响应会自动记录；把最初一微秒的曲线和稳定相位读数放在一起看。
你会看到： 相位回到一个稳定的偏移，不一定是零。
02
越过锁定边缘
选“频率牵引”，再减弱注入。点“关闭注入”，新记录从已经达到的相位开始。
你会看到： 越过边缘后，相位一圈圈转下去，拍频不会变成零，但从激光频率仍被拉向主激光。
03
区分噪声与分辨率
比较“自由相位扩散”和“抑制相对噪声”，再选“噪声驱动滑移”。噪声种子等次要设置收在高级参数中。
你会看到： 相对相位被拴住后，记录的频谱更集中。靠近边缘时，即使在无噪声模型能锁定的范围内，噪声也会造成滑移。