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管口外的空气怎样改变共振

共鸣管里最响的位置,会受到管口外空气的影响。对着一根管子发出固定音调,再慢慢移动里面的活塞,声音会一阵增强、一阵减弱。你可以量出最响时的空气柱长度,却会发现:只拿这段几何长度去算声速,结果总差一点。

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反射波为什么会越叠越强

扬声器向前推一下,附近空气被挤密;向后退一下,空气又松开。这样的挤压沿管子传播。空气中的小团块只在原处前后往返,传向远处的是挤压的变化。

到了刚性活塞,空气不能穿过去,波会反射回来。往返时间恰好配上扬声器的节奏,接连返回的波就会互相增强。管里有些位置总是声压起伏很大,另一些位置总是很小,形成驻波。这里的声压,是空气压强围绕平常值的一点点增减。

麦克风测的是这种压强起伏。活塞旁边的空气不能穿过端板,往返距离很小,声压却能起伏得很大。沿管子移动麦克风,还会找到相反的位置:拾音很弱,空气往返的距离却很大。这就是声压节点。看麦克风的振幅和看空气位移,要认清是在看哪一种运动。

来源:[1]

开放管口没有画出一条反射线

管口通向房间,空气可以进出。管内的一小团空气往外运动时,也要推动管口外面的空气;反过来,外面的空气也会拖住这次往返。玻璃边缘是一条清楚的线,空气的运动却不会到那里就突然停止。

这种额外惯性会改变反射的相位,也就是反射波赶上下一次推动的时机。对于细管和足够低的频率,可以把这个影响近似成:声波觉得管子比尺子量到的稍长一点。多出来的等效长度叫端部修正。

Levine与Schwinger在1948年求出了薄壁、无挡板圆管的低频结果:一个开口约多出半径的0.6133倍。半径 10 mm10\,\mathrm{mm} 的这种管口,对应约 6.13 mm6.13\,\mathrm{mm}。管壁变厚、加上挡板或提高频率,管口空气的运动方式也会改变,便需要换一个合适的修正。

一端封闭、一端开放的管子,在最简单的共振中容纳约四分之一波长。两端都开放时,最简单的图样容纳约半个波长,而且两个开口都要考虑端部空气。改变端板,改变的是整段驻波要满足的条件。

来源:[1][2]

相邻两次最响,能消掉那一点额外长度

测声速时,可以保持音调不变,继续向后拉活塞。下一个共振会比前一个多容纳半个波长。两次尺读数都带着同一段端部修正,相减时这段共同长度便消掉了。

取一组理想示例:驱动频率为 1000 Hz1000\,\mathrm{Hz},相邻两处共振的管长约是 0.25160 m0.25160\,\mathrm{m} 和 0.42342 m0.42342\,\mathrm{m}。两者相隔 0.17182 m0.17182\,\mathrm{m},半个波长就是这么长。完整波长再乘每秒振动次数,得到声速约 343.64 m/s343.64\,\mathrm{m/s}。

声速有了着落,再数清某次共振容纳哪一阶图样,就能算出它需要多长的有效空气柱。拿这个长度减去尺量到的管长,剩下的才是端部修正。多找几个位置,还能检查这些差值是否相互接近。

c=2f(Ln+1−Ln)c=2f(L_{n+1}-L_n)
相邻共振多出半个波长。频率乘两倍的长度差,就是声速;长度用米、频率用赫兹,声速就以米每秒表示。两次测量用相同端板、管口半径与气温。

来源:[1]

尖锐的峰,也需要足够的信息

如果把活塞固定,只改变音调,仍能找到一串很清楚的共振峰。但这些峰共同告诉你的,是声音通过这段有效管长要花多久。声速大一点、有效管长也大一点,仍可能给出同样的一串频率。峰再多,也没有增加另一种几何长度。

改变真实管长,才让两种影响有了不同的表现:长度越长,共振频率按比例降低;开口带来的那一点延长,则在每次测量里都加在端部。把几种管长放在一起比较,才能把它们分开。

温度也要一起量。空气变暖,声速升高,原先最响的音调就会偏开。尺零点和频率计也得检查,麦克风则应保持足够小,尽量不堵住本来开放的管口。最后留下的,不只是一个很响的声音,而是一组能够比较的长度、频率和温度。

来源:[1]

来源与延伸阅读

  1. PASCO WA-9612 Resonance Tube, 012-03541F (3/95)

    第1–6页:活动活塞、压强麦克风与保持开放的声源端;第20–21页:声压图样、相邻共振位置与声速温度近似。

  2. Levine & Schwinger, On the Radiation of Sound from an Unflanged Circular Pipe, Physical Review 73, 383–406 (1948)

    出版方摘要与低频结果:薄壁无挡板圆管开口的等效延长为半径的0.6133倍。这是特定几何的极限值。

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