先让横杆容易向侧面转
把两个球放在桌上,很难看到它们互相靠近。桌面的摩擦会挡住移动,地球又一直向下拉。扭秤把小球挂起来,用细丝承受重量,让横杆能够在水平面内转动。细丝被扭过一个小角度,就会想要转回去;这股恢复力矩相当于一根很软的旋转弹簧。
这项构想来自 John Michell。Cavendish 在论文开头说明装置如何辗转交到自己手里,随后描述那根约六英尺长的木横杆。今天常见的教学扭秤小得多,还会用镜子和激光读角度。它们保留了同一条思路:让很小的侧向引力,在很软的悬丝上留下可测的偏转。
力没有变大,光点走得更远
在横杆中央装一面小镜子,向镜子照一束光,反射光落到远处的屏上。镜子转动时,入射方向不变,反射方向却转过两倍的角度。屏放得越远,光点走过的距离越大。读一段距离,比直接看清细丝扭了多少容易得多。
假设镜子只转了千分之一弧度,约为一度的十七分之一。屏离镜子一点五米,光点便会移动约三毫米。这是一个给定转角的几何例子:光路没有替大球增加引力,而是把难读的角度换成了便于读的长度。
光点还在来回摆动时,不能把它经过的任意位置都当作平衡点。横杆有惯性,往往会越过最后停下的位置,再被细丝拉回来。屏上的往复运动把这个过程显露出来;等振幅逐渐衰减,才能读到稳定位置。
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先问细丝有多软
即使读出了转角,还差一个刻度:这么大的偏转,到底需要多大的力矩?同一股引力可以把软细丝扭过较大的角度,把硬细丝只扭过一点点。只量角度,分不清是引力大,还是细丝软。
可以先把大球移开,轻轻扰动横杆,让它自由摆动。已知两端小球的质量、离悬丝多远,再量它摆一周所需的时间,就能求出细丝的扭转刚度。这里的“刚度”指把它扭过一定角度需要多大力矩。细丝越硬,横杆往回转得越快,周期也越短。
小球有自己的大小。绕悬丝轴转动时,球心在绕圈,球体本身也跟着转。教学计算若要保留这一小项,就应把它写进转动惯量;镜子和横杆的惯量若忽略,也要交代清楚。这些几何细节决定了时间怎样换成力的刻度。
把大球换边,再读一次
细丝即使没有受到大球吸引,光点也未必恰好落在屏的零刻度。把大球移到小球的另一侧,吸引造成的转动方向就反过来。量两个稳定位置的间隔,便能比只读一次位置更好地分辨共同零偏和引力信号。
比较两侧读数时,还要记住远处的大球也在拉近处的小球。四对大球与小球的引力都要相加。只留下最近的两对,会把已知几何对应的力矩算大,反推出的引力常量也跟着改变。
若探测器零点在两次测量之间慢慢漂移,这个差值仍会偏。扭秤最费功夫的地方,往往就在这里:气流、温度和悬丝性质带来的变化,可以和极小的引力信号混在一起。可靠的结果要靠改变条件、反复测量,查清这些变化从哪里来。
从房间里的小球走向地球
Cavendish 的论文于 1798 年 6 月 21 日在 Royal Society 宣读,题目说的正是测定地球密度。实验室里这对球给出了引力的尺度,再把它和地球对物体的吸引联系起来,便能推算地球平均密度。今天通常把同类扭秤实验写成测量引力常量。
吸引力并没有因为仪器精巧而变强。扭秤做的是安排运动方向、选择柔软的悬挂,再耐心地把偏转读出来。一段缓慢移动的光点,因此能告诉我们两个看似静止的物体正在互相吸引。