IN03 · 在桌上量两个球的引力

Cavendish 引力扭秤

怎样从一根缓慢转动的细丝，测出两个小球之间的引力？ 大球把悬着的小球往侧面拉，细丝跟着扭转。镜子把微小转角变成屏上的光点位移。先用自由扭振标定细丝，再量大球换边后的位移，就能估计球间引力。

移动大球，看镜子反射的光点怎样移动，记下换位前后的平衡位置。另测一次自由扭振来标定细丝，再从保留的光点读数估计引力常量。

用很软的细丝接住引力

当前光点 $0.20\,\mathrm{mm}$

当前转角 $0\,\mathrm{mrad}$

保留数据给出的引力常量 $6.67\times10^{-11}$

\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}

标定的自由周期 $486\,\mathrm{s}$

最近两球中心距

b/\mathrm{mm}

46.5

阻尼比

\zeta

0.16

每个大球质量

M/\mathrm{kg}

1.5

拖动任一青色大球，金色小球和镜子会缓慢响应。

探测器与标定

探测器零点漂移

v_0/(\mathrm{mm}\,\mathrm{h}^{-1})

0

光点噪声尺度

\sigma_x/\mathrm{mm}

0.015

镜到屏距离

L/\mathrm{m}

1.5

采样种子

s_0

176

锁定零点采用理想无噪声参考。探测器漂移只加在两侧测量中，另行采集的自由扭振标定不含这项漂移。

模型假设

模拟四个均匀、互不接触的球之间的 Newton 引力，只保留一个扭转自由度。四对大球与小球的相互作用，以及小球自身的转动惯量都计入。细丝采用线性恢复力矩和黏性阻尼，横杆与镜子质量忽略。锁住横杆时采用理想无噪声零点参考；移走大球后另测自由扭振来标定刚度。漂移控件只作用于随后两侧测量，不加在自由扭振标定中。长时间记录压缩回放，时间戳仍为物理秒。装置保留真实微小转角，图中的光程经过压缩。不含热运动、静电、气流、细丝非弹性和几何标定不确定度。可调的探测器漂移故意不在推断中扣除。

大球换边后记录的光点

默认模拟测量 · 探测器样本

$t/\mathrm{min},\quad x/\mathrm{mm}$

青色：模拟探测器样本。金色：每侧最后五分之一记录的平均值。调整当前设置不会改写这份记录。

自由扭振标定与模型

移走大球，量细丝振动的周期

$t/\mathrm{min},\quad x/\mathrm{mm}$

均匀球、单一扭角、线性细丝和黏性阻尼；四对大球与小球的引力全部相加。保留真实微小转角，图中光程压缩。回放比实验室时钟快六十倍。移动光点只标示传播方向，大小与速度均为示意。

先抓重点

核心问题: 怎样从一根缓慢转动的细丝，测出两个小球之间的引力？
一句话直觉: 光点位移给出转角；另测自由扭振的周期，才能知道这个转角对应多大的力矩。

核心数学模型

每个大球都拉两个小球

\tau_g=-G\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}m_iM_j\frac{(\mathbf r_i\times(\mathbf R_j-\mathbf r_i))_y}{|\mathbf R_j-\mathbf r_i|^3}

球心位置从悬丝轴量起。水平面内，从正 x 转向正 z 规定为正转角；模型的标量力矩按这个方向取正。

用自由扭振标定刚度

\kappa=I\left[\left(\frac{2\pi}{T_d}\right)^2+\gamma^2\right]

从保留的无源光点读数拟合阻尼周期和指数衰减率。转动惯量既含两球绕悬丝轴公转，也含球本身的转动贡献。

反射光的偏转角是镜子转角的两倍

x-x_0=L\tan(2\theta)

光学零点另由锁住横杆的参考测量给出。两侧大球位置各自保留时间戳和读数。

常见难点

远处的大球也会拉

容易误解每个小球只受最近那个大球的吸引。

正确理解两个大球都会拉两个小球。较远的一对部分抵消近处那一对的力矩；把大球移远后，这个影响更明显。

动手实验

01
把引力源移到另一侧
拖动青色大球或改变“最近两球中心距”，再点“大球换边”。
你会看到： 两个大球一起移动。它们越过小球的另一侧，力矩方向也跟着反转。
02
记录两侧的平衡位置
点“记录两侧响应并标定”，看每段末尾的金色平均线。
你会看到： 光点最后停在标定零点的两侧，两段平衡位置之差给出转角变化。
03
让探测器零点慢慢漂移
选“零点慢慢漂移”，比较引力常量估计和默认记录。
你会看到： 探测器零点随时间移动，两侧的末段平均值也跟着偏。把同一个读数重复得很精细，仍消不掉这种系统偏差。

Cavendish 引力扭秤

大球换边后记录的光点

移走大球，量细丝振动的周期

把微弱引力变成可读的光点位移

核心数学模型

每个大球都拉两个小球

用自由扭振标定刚度

反射光的偏转角是镜子转角的两倍

常见难点

远处的大球也会拉

动手实验

把引力源移到另一侧

记录两侧的平衡位置

让探测器零点慢慢漂移

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