FR21 · 反应与扩散

图灵斑图

扩散为什么能帮均匀混合物长出图案？ 两种物质一边反应、一边以不同速度扩散，微小浓度差就可能越长越大。哪些波长能长起来，要由反应速度、扩散速度和区域大小一起决定。

微小浓度差会逐渐长成斑点。改变扩散快慢、拖动鼠标添加局部扰动，再比较模拟测出的早期增长率与理论预测。

模型假设

两种无量纲 Schnakenberg 组分在周期方域中反应。颜色按固定尺度表示激活组分浓度。增长谱来自另行保存的小扰动模拟，没有拟合生物参数。

演化时刻

30

平均浓度

1

空间起伏

0.1

峰值浓度

2

模拟记录与解析参考

哪些空间尺度会增长？

青线是连续模型预测，金色虚线是每边 32 格的差分预测。白点来自另行模拟：对九个已保存的傅里叶振幅样本取对数并拟合斜率。小扰动模拟与主图使用相同的当前反应参数。

主图采用固定色标：零为深蓝，一附近为青色，2.5 及以上为金色。相对两边彼此相接。

先抓重点

\partial_t u=a-u+u^2v+D_u\nabla^2u,\qquad \partial_t v=b-u^2v+D_v\nabla^2v

激活组分消耗底物，生成更多激活组分；两者都向周围扩散，外部储库持续补给。这里的浓度、长度和时间均已无量纲化。

\partial_t\begin{pmatrix}\delta u_k\\\delta v_k\end{pmatrix}=\left[J-k^2\begin{pmatrix}D_u&0\\0&D_v\end{pmatrix}\right]\begin{pmatrix}\delta u_k\\\delta v_k\end{pmatrix}

矩阵描述一个正弦起伏怎样变化。其本征值实部中最大的那个，就是早期指数增长率；正值表示这种起伏会长大。

容易误解扩散只会抹平浓度，怎么会画出斑点？

正确理解每种物质确实都在抹平自身浓度。底物移动得快时，重新分配会改变局部反应的反馈，耦合后的系统便可能放大某些起伏。

容易误解增长谱应该解释每一帧斑点变大的速度。

正确理解增长谱从均匀稳态附近展开。斑点大到明显消耗周围底物时，小扰动近似结束，后面的竞争和饱和由完整反应方程决定。

01
找到会长大的尺度
选择“斑点长出”，在增长谱中找到零线以上的白点。
你会看到： 这些模式从微小扰动开始增长。有限网格的参考与连续预测略有不同，差别来自空间离散。
02
让两种物质扩散得一样快
选择“扩散抹平”，再在主图拖出一道痕迹。
你会看到： 痕迹扩散后逐渐消退。相同扩散率给两个耦合模式减去同样的阻尼。
03
区分整锅振荡和空间图案
选择“混合物振荡”，观察整幅场随时间变色。
你会看到： 此时均匀模式也会失稳。整锅一起变色属于时间振荡，静态空间图案则从非零波数的起伏开始。