FR42 · 神经统计物理

随机离子通道：小神经元为什么放电不可靠

一块膜只有几千个通道时，同样的电击还会每次都引发峰电位吗？ 在小膜片里不会。每个通道都随机开关，只有几千个通道时，阈值附近的结果由噪声决定：100 平方微米的膜片对完全相同的电击只有约一半次数发放。膜片变大后又回到可靠的 Hodgkin–Huxley 峰电位，而极小的膜片没有刺激也会自己放电。

把膜片缩小，重复同一次电击。通道越少，峰电位越像抛硬币，发放时刻越抖，噪声自己也能引发放电。

膜片中的通道数 $N_{\mathrm{Na}}=6000,\ N_{\mathrm{K}}=1800$

引发峰电位的试验比例 $\hat p_{\mathrm{spike}}=0.527\pm0.041\ (n=150)$

首个峰电位时刻的离散程度 $\sigma_t=1.57\pm0.13\ \mathrm{ms}$

确定性 Hodgkin–Huxley 潜伏期 $t_{\mathrm{HH}}=6.63\ \mathrm{ms}$

缩小膜片，重复电击

膜片面积

100\ \mu\mathrm{m^2}

\log_{10}(A/\mu\mathrm{m^2})

电击电荷（nC/cm²）

6.5

q

温度（°C）

6.3

T

拖动膜片边缘把它缩小或放大。每次新试验都给同样的电击，所以试验之间的差别全部来自通道。

记录、种子与播放

每秒显示的模型毫秒数

3

\dot t

通道的随机种子

42

k

模型、方法与来源

$\langle f_{\mathrm{Na}}\rangle=m^3h,\quad \operatorname{Var}f_{\mathrm{Na}}=\frac{m^3h\,(1-m^3h)}{N_{\mathrm{Na}}},\qquad \sigma_t\propto N^{-1/2}\ \ (N\to\infty)$

每个闸门按当前电压下的 Hodgkin–Huxley 速率在关闭和打开之间翻转。每个 0.01 ms 步长内电压保持不变，翻转的闸门数按精确的两态概率抽取，然后电压按开放通道的电导前进。电压固定时，开放比例服从二项分布，均值和方差如上式；基准测试用 1000 次试验检验了这一点。发放时刻抖动的 $N^{-1/2}$ 标度是小噪声极限。基准中它在约 $1000\ \mu\mathrm{m^2}$ 以上成立，更小的膜片抖动比这个预测更大。

Goldwyn & Shea-Brown (2011), arXiv:1104.4823v1 · Hodgkin & Huxley (1952), J. Physiol. 117, 500–544

读：通道噪声为什么重要

模型假设

每个钠通道有三个激活闸门和一个失活闸门，每个钾通道有四个闸门；每个闸门都按 Hodgkin–Huxley 速率随机开关，只有全部闸门打开时通道才导电。膜片每平方微米有 60 个钠通道和 18 个钾通道，每个 20 pS，与 Goldwyn 和 Shea-Brown（2011）相同。每次试验先不记录地静置 10 ms，再接受同样的短电击。虚线参照是确定性的 Hodgkin–Huxley 膜，即通道数趋于无穷的极限。所有试验都是模拟，没有展示膜片钳实测数据。

最近的随机试验与确定性膜

全部试验的首个峰电位潜伏期

所示试验中的开放钠通道数与二项分布预期

更多数值与计算方法

膜片面积: $0$
首个峰电位的平均潜伏期: $0$
每秒试验时间内的全部峰电位: $0$
已完成的试验: $0$
确定性电击阈值: $0$
通道密度与单通道电导: $0$
通道链的时间步长: $0$

每次试验使用自己的种子，记录开始前先静置 10 ms。电击后去极化向上越过 50 mV 即算作发放。比例的标准误按二项分布计算，离散的标准误按大样本公式计算。1500 次试验之后估计值不再变化。

先抓重点

核心问题: 一块膜只有几千个通道时，同样的电击还会每次都引发峰电位吗？
一句话直觉: 电压固定时，开放通道数服从二项分布，所以它的相对离散按 $N^{-1/2}$ 减小。在阈值附近，确定性的膜站在刀刃上，这点小小的离散就决定了结果： $100\ \mu\mathrm{m^2}$ 的膜片对完全相同的电击只有约一半次数发放。

核心数学模型

固定电压下的开放通道数

N_{\mathrm{open}}\sim\mathrm{Bin}(N_{\mathrm{Na}},\,m^3h),\qquad \frac{\sqrt{\operatorname{Var}N_{\mathrm{open}}}}{\langle N_{\mathrm{open}}\rangle}=\sqrt{\frac{1-m^3h}{N_{\mathrm{Na}}\,m^3h}}

各通道相互独立，每个以 Hodgkin–Huxley 概率处于开放态，所以开放数服从二项分布。基准测试在电压阶跃后的六个时刻检验了均值和方差。

膜片中的通道数

N_{\mathrm{Na}}=60\,A,\qquad N_{\mathrm K}=18\,A,\qquad A\ \text{in}\ \mu\mathrm{m^2}

每个通道 20 pS 时，这两个密度正好给出 1952 年的最大电导 $120$ 和 $36\ \mathrm{mS\,cm^{-2}}$ 。

小噪声极限下的抖动

\sigma_t\propto N^{-1/2}\qquad (N\to\infty)

只在噪声小时成立。在 $100$ 到 $1000\ \mu\mathrm{m^2}$ 之间，模拟的抖动下降得比这更快，所以不要把它外推到小膜片。

常见难点

噪声在膜里，不在刺激里

容易误解每次试验不同，是因为电击没有精确重复。

正确理解每次试验的电击完全相同。模型里唯一的随机数，决定哪些闸门打开、哪些关闭。

大膜片并非没有噪声

容易误解膜片超过某个大小后，就和方程完全一样。

正确理解离散会变小，但不会消失。在 $1000\ \mu\mathrm{m^2}$ 时，六万个钠通道仍然给出约 0.06 ms 的潜伏期离散。

动手实验

01
在阈值处电击
让“阈值处像抛硬币”预设运行二十秒。
你会看到： 大约一半试验发放。同样电击下，确定性的膜只在约 6.6 ms 后发放一次，因为 $6.5\ \mathrm{nC\,cm^{-2}}$ 刚刚高于它的阈值。
02
加大电击，看时刻
选择“发放时刻抖动”。
你会看到： 现在几乎每次都发放，但首个峰电位时刻的离散约为 0.28 ms。确定性的膜每次都在 0.87 ms 后发放。
03
增加通道
选择“通道很多：回到 Hodgkin–Huxley”，再把边缘往里拖。
你会看到： 通道增加十倍后，离散降到约 0.06 ms。把膜片缩小，抖动又回来了。小膜片没有电击也会放电，十平方微米时每秒约 38 次。

随机离子通道：小神经元为什么放电不可靠

通道越少，峰电位越不可靠

核心数学模型

固定电压下的开放通道数

膜片中的通道数

小噪声极限下的抖动

常见难点

噪声在膜里，不在刺激里

大膜片并非没有噪声

动手实验

在阈值处电击

加大电击，看时刻

增加通道

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