FR42 · 神经统计物理

Hodgkin–Huxley 模型：枪乌贼轴突如何发放动作电位

一次小小的电击，怎样变成全或无的峰电位？钳位电流又告诉了我们什么？ 靠钠通道的正反馈。电击把膜去极化到约 6.5 毫伏以上时，钠门比钾门开得快，钠离子涌入，电压升到约 105 毫伏；随后较慢的钠失活和钾门打开把它拉回。低于这个阈值，膜只会振荡几下然后恢复。

对 1952 年 Hodgkin–Huxley 膜施加电击、电流阶跃或电压钳，看闸门打开，找出阈值，并与原文表 5 的离子移动量对照。

峰值去极化 $u_{\max}=105\ \mathrm{mV}$

从电击到峰值的时间 $t_{\max}=1.16\ \mathrm{ms}$

每次冲动额外进入的钠 $\mathrm{Na^+_{in}}=14.5\ \mathrm{pmol\,cm^{-2}}$

每次冲动额外流出的钾 $\mathrm{K^+_{out}}=14.3\ \mathrm{pmol\,cm^{-2}}$

刺激枪乌贼轴突膜

实验方式

电击电荷（nC/cm²）

15

q

温度（°C）

6.3

T

拖动轴突旁的刺激器旋钮改变刺激强度。换一种实验方式，就在同一块膜上做另一种实验。

记录、种子与播放

合成记录的放大器噪声（mV）

0.8

\sigma_{\mathrm{amp}}

每秒显示的模型毫秒数

6

\dot t

噪声种子

42

k

模型、方法与来源

$C_M\frac{du}{dt}=-\bar g_{\mathrm{Na}}m^3h\,(u-u_{\mathrm{Na}})-\bar g_{\mathrm K}n^4(u-u_{\mathrm K})-\bar g_l(u-u_l)+I,\quad \frac{dx}{dt}=\phi\,[\alpha_x(1-x)-\beta_x x]$

速率常数、电导和反转电位都取 1952 年原文的数值，并改写为去极化 $u$ 的形式，所以 $u_{\mathrm{Na}}=115\ \mathrm{mV}$ ， $u_{\mathrm K}=-12\ \mathrm{mV}$ ， $u_l=10.613\ \mathrm{mV}$ 。温度 $T$ 以摄氏度计，所有速率都乘以 $\phi=3^{(T-6.3)/10}$ 。由于膜电容为 $1\ \mu\mathrm{F\,cm^{-2}}$ ， $q\ \mathrm{nC\,cm^{-2}}$ 的短电击使膜从 $u=q\ \mathrm{mV}$ 出发。方程用四阶 Runge–Kutta 积分，步长不大于 0.002 ms。合成记录是在模型曲线上加由固定种子生成的高斯噪声。

Hodgkin & Huxley (1952), J. Physiol. 117, 500–544 · Goldwyn & Shea-Brown (2011), arXiv:1104.4823v1

一步步推导动作电位

模型假设

膜按 Hodgkin 与 Huxley（1952）给出的空间钳位枪乌贼轴突方程演化，速率常数和电导都取原文数值。电压 u 是相对静息电位的去极化，单位 mV，膜内为正，所以与 1952 年原文的符号相反。电流按每平方厘米计，向外为正。亮色曲线是模型；灰色曲线是合成记录，即模型加上由固定种子生成的放大器噪声，不是实测的枪乌贼数据。钠、钾移动量沿用原文表 5 的定义：同一时间窗内的净移动减去静息通量。

合成记录与模型真值

模型中的钠电流与钾电流

同一实验方式在一组设置下的结果

更多数值与计算方法

合成记录的极值: $0$
模型曲线的极值: $0$
加到记录上的放大器噪声: $0$
该温度下的电击阈值: $0$
温度带来的速率因子: $0$
本次扫描的峰电位数: $0$
最大上升速率: $0$
离子移动量的积分窗口: $0$

所有读数都在模型曲线上测量。合成记录只展示带这种噪声的放大器会叠加什么。汇总曲线对每个点重新运行一次模型。导出文件包含两条曲线、种子和全部设置。

物理教程

峰电位是钠门与钾门之间的赛跑

背景枪乌贼巨轴突的膜是一层很薄的绝缘体，上面嵌着钠通道和钾通道。1952 年，Hodgkin 和 Huxley 把膜电压钳住不动，测出流过的电流，写下四个方程；这组方程重现了他们并没有拿来拟合的动作电位。

为什么值得理解同一组方程能同时回答好几个问题：为什么存在阈值，为什么紧接着的第二次电击不起作用，为什么持续电流会引发一串峰电位，为什么解除超极化也能引发放电。

先抓重点

核心问题: 一次小小的电击，怎样变成全或无的峰电位？钳位电流又告诉了我们什么？
一句话直觉: 去极化打开快速的钠激活门 $m$ ，钠离子流入，使膜进一步去极化。较慢的失活门 $h$ 和钾激活门 $n$ 随后结束这次峰电位。在这个模型里，6.3 °C 时电击超过约 $6.5\ \mathrm{nC\,cm^{-2}}$ ，正反馈才会获胜。

核心数学模型

膜上的电流平衡

C_M\frac{du}{dt}=-\bar g_{\mathrm{Na}}m^3h\,(u-u_{\mathrm{Na}})-\bar g_{\mathrm K}n^4(u-u_{\mathrm K})-\bar g_l(u-u_l)+I

这里 $u$ 是相对静息电位的去极化，向外电流为正。每种离子电流都等于电导乘以电压离反转电位的距离， $u_{\mathrm{Na}}=115\ \mathrm{mV}$ ， $u_{\mathrm K}=-12\ \mathrm{mV}$ 。

一阶门控

\frac{dx}{dt}=\phi\,[\alpha_x(u)(1-x)-\beta_x(u)\,x]=\frac{x_\infty(u)-x}{\tau_x(u)},\qquad x\in\{m,h,n\}

每个门都以随电压变化的时间常数趋向它的稳态值。在静息附近， $\tau_m$ 比 $\tau_h$ 和 $\tau_n$ 短二十多倍，所以一开始钠占上风。

短电击设定初始电压

\Delta u=\frac{q}{C_M},\qquad C_M=1\ \mu\mathrm{F\,cm^{-2}}\ \Rightarrow\ 1\ \mathrm{nC\,cm^{-2}}\mapsto1\ \mathrm{mV}

比任何门控时间都短得多的电击只给电容充电，所以单位面积电荷就等于初始去极化。

常见难点

峰值不等于钠反转电位

容易误解峰电位的顶端就是钠反转电位。

正确理解模型的峰值在 $105\ \mathrm{mV}$ 附近，比 $u_{\mathrm{Na}}$ 低约 $10\ \mathrm{mV}$ ，因为钾电导和漏电导已经在往回拉。

阈值不是固定电压

容易误解只要电压越过某个固定值，就会发放峰电位。

正确理解阈值取决于各个门的状态。刚发放过之后，更大的电击也会失效；而从超极化中释放时，不需要任何去极化电击也能发放。

动手实验

01
发放一次峰电位
让“一次全或无的峰电位”预设运行，观察轴突旁的闸门。
你会看到： 电击让膜从 $15\ \mathrm{mV}$ 出发。钠门先打开，约 1.2 ms 后电压在 $105\ \mathrm{mV}$ 附近达到峰值，随后钾把它拉回到静息电位以下。
02
降到阈值以下
选择“刚好低于阈值”。
你会看到： $6\ \mathrm{nC\,cm^{-2}}$ 的电击只引起衰减的振荡。模型阈值是 $6.50\ \mathrm{nC\,cm^{-2}}$ ，与 1952 年原文“7 mV 发放、6 mV 不发放”一致。
03
钳住电压
选择“电压钳分开两种电流”。
你会看到： 指令电位为 $60\ \mathrm{mV}$ 时，电流先向内，约 $-1.27\ \mathrm{mA\,cm^{-2}}$ ，由钠携带；随后向外，约 $1.64\ \mathrm{mA\,cm^{-2}}$ ，由钾携带。