带着问题读 Hodgkin 和 Huxley 1952

先翻译符号

第 503 页把膜电位定义为外侧减内侧。第 505、506 页取 $V$ 为相对静息电位的偏移，去极化时 $V$ 为负，内向电流为正。这和今天的习惯正好相反。本课程用 $u$ 表示去极化，$u=-V$，外向电流为正。

翻译时每个电位都要变号。表 3 里钠的平衡电位是 $V_{\mathrm{Na}}=-115\ \mathrm{mV}$，在本课程里是 $u_{\mathrm{Na}}=+115$；钾的 $V_{\mathrm K}=+12$ 变成 $-12$；漏电的 $V_l=-10.613$ 变成 $+10.613$。速率常数也一样，把 $V$ 换成 $-u$ 即可，例如下式里的 $\alpha_m$。

翻译完以后要检查一次：静息时三种离子电流之和应为零，峰电位应向正方向。如果算出的峰电位朝下，通常是某个电位或电流少变了一次号。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · W. Gerstner

方程和常数在哪里

钾电导的速率常数在式 (12)、(13)，钠激活在式 (20)、(21)，钠失活在第 516 页的式 (23)、(24)。第 518 页的式 (26) 把它们和电容电流合成完整的膜方程。第 519 页说明单位是毫伏、微安每平方厘米、毫西门子每平方厘米、微法每平方厘米和毫秒，速率常数对应 6.3 °C，其他温度按 $Q_{10}=3$ 换算，方程里的其他常数与温度无关。

第 520 页的表 3 值得细看：每个常数都列出选用值、实验平均和范围。例如膜电容选 1.0 微法每平方厘米，实验平均 0.91，范围 0.8 到 1.5；钾电导选 36，平均 34，范围 26 到 49。漏电位的 -10.613 带一个星号：它是专门选来让静息时总离子电流为零的。这些常数因此是一组代表值，单根轴突的测量值会偏离它们。

第 519 页还有一处容易漏掉的比较：在 4 °C 下用方程重算电压钳实验（图 11），在钠平衡电位附近，理论给出的延迟太短。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley

没有计算机，他们怎样算出一个峰电位

第 523 页描述数值方法：用 Hartree 的方法逐步积分，起始阶段步长 0.01 ms，上升相 0.02 ms，振荡阶段放宽到 1 ms，电压保留到微伏位。其他温度不必重算速率常数：把电容乘以 $\phi=3^{(T-6.3)/10}$，再把时间单位改成 $1/\phi$ 毫秒，就等价于在 6.3 °C 下计算。

第 526 页说 18.5 °C 时速率常数增大 3.84 倍，而 $3^{(18.5-6.3)/10}=3.82$。我们按 3.82 重算 18.5 °C 的膜动作电位，峰高 96.92 mV，表 4 印的是 96.8；最大上升速率 563 V/s，印的是 564。这个 0.5% 的差别不足以判断原文实际用了哪个因子。

传导的动作电位要难得多：方程里含有未知的传导速度。第 524 页的做法是先猜一个 $K$ 值，积分下去，看解是否发散，再调整；第 528 页报告 18.5 °C 时 $K=10.47\ \mathrm{ms^{-1}}$，算出的速度 18.8 m/s，实测 21.2 m/s。我们用有限差分直接解同一根轴突的电缆方程，三种网格外推到 $18.73\pm0.006\ \mathrm{m/s}$，峰高 90.58 mV，表 4 印的是 90.5。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley

拿表 4、表 5 和图对照

第 527 页的表 4 列出峰电位的形状。6.3 °C、15 nC/cm² 这一行，我们重算的峰高、正相幅度、峰值电导、上升相、下降相、正相时长、峰值电压到峰值电导的间隔、最大上升速率依次是 105.41、11.18、37.02、0.593、2.207、14.22、0.148、310.9，原表是 105.4、11.2、37.0、0.59、2.21、14.15、0.15、311。差别最大的是正相时长，0.07 ms，约 0.5%。

18.5 °C 那一行有一处对不上：峰值电压到峰值电导的间隔，原表 0.012 ms，我们得到 0.004 ms。两个峰都很宽，间隔只有几微秒，结果对时间分辨率很敏感，原文的步长远比这粗。

第 532、533 页的表 5 列出每次冲动钠和钾的移动量。直接对整个窗口积分，6.3 °C 的钠净进入是 14.78 pmol/cm²，比表中的 14.46 大；减去同一窗口内静息时本来就有的流动后，得到 14.459 和 14.328，与表中的 14.46 和 14.32 吻合到小数点后两位。我们推断，表 5 是扣除静息流动后的额外移动量；这是从数字反推出来的，原文没有这样明说。

图 12 和图 21 给出 6 °C 下 6 mV 不放电、7 mV 放电，我们的阈值是 6.50 nC/cm²。图 20 是不应期，图 22 是阳极断开，第 537 页讨论缓慢增加的电流为什么不能引起放电。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley

作者自己的保留

第 541 页，作者写道：“The agreement must not be taken as evidence that our equations are anything more than an empirical description”，即吻合不能被当作证据，说明这些方程不只是对钠、钾通透性变化时程的经验描述。他们还强调，方程只处理短时间的响应，只针对离体的枪乌贼巨轴突。

第 542、543 页列出已知的缺点：把膜当成理想电容；钾电导开始上升前的延迟太短。第 533 页把表 5 和 Keynes 等人的测量相比，理论给出的钠交换偏少，钾交换偏多。

后来的通道模型给这些经验方程找到了一种微观解释。第四章的 Markov 链模型里，每个通道独立地开关；Goldwyn 和 Shea-Brown 说明，通道数趋于无穷时它回到 Hodgkin–Huxley 方程。这是后来的工作，不是这篇论文的结论。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · J. H. Goldwyn and E. Shea-Brown

完整例题：从 K 算出传导速度

题目。第 528 页给出 18.5 °C 时 $K=10.47\ \mathrm{ms^{-1}}$，轴突半径 $a=238\ \mu\mathrm{m}$，轴浆电阻率 $R_2=35.4\ \Omega\,\mathrm{cm}$，膜电容 $C_M=1\ \mu\mathrm{F\,cm^{-2}}$。算出传导速度，并与原文的 18.8 m/s、实测的 21.2 m/s 和我们电缆方程的 18.73 m/s 比较。

建模。用上式解出 $\theta$。全部换成厘米、秒、欧姆和法拉：$K=1.047\times10^{4}\ \mathrm{s^{-1}}$，$a=0.0238\ \mathrm{cm}$，$C_M=10^{-6}\ \mathrm{F\,cm^{-2}}$。

计算。$\theta^{2}=\frac{1.047\times10^{4}\times0.0238}{2\times35.4\times10^{-6}}=3.52\times10^{6}\ \mathrm{cm^{2}\,s^{-2}}$，$\theta=1876\ \mathrm{cm/s}=18.76\ \mathrm{m/s}$，四舍五入正是原文的 18.8。实测的 21.2 m/s 比它高 11.5%。

解释。原文报告的 K 和速度彼此一致，我们独立解电缆方程得到的 18.73 m/s 与 18.76 m/s 相差 0.2%，说明原文的打靶计算是准确的。和实测的差距来自方程本身和所用常数，不是数值误差。

检验。量纲：$\mathrm{s^{-1}\,cm}/(\Omega\,\mathrm{cm}\cdot\mathrm{F\,cm^{-2}})=\mathrm{cm^{2}}/(\mathrm{s}\cdot\Omega\,\mathrm{F})$，而 $\Omega\,\mathrm F=\mathrm s$，所以是 $\mathrm{cm^2\,s^{-2}}$，开方后是速度。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley