L3 · 第 6 章

分支过程怎样产生神经雪崩，部分记录又看到什么

Sandbox Physics · 2026-10-31

前几章只看一块膜。现在把许多神经元连起来：一个峰电位让几个邻居在下一步放电，这些邻居再点燃下一批。这种级联在记录里表现为一阵阵的活动，称为神经雪崩。本章先用分支过程算出级联有多大，再看电极阵列只记录到其中一部分时，记录里的统计量怎样偏离网络本身。

一个峰电位能点燃几个

Lab 里的网络是 40 乘 25 的一片单元，共 1000 个。每个单元连向 5 格之内随机挑选的 10 个邻居。某一步有一个单元放电，它的每个邻居在下一步各以 $\sigma/10$ 的概率放电；刚放过电的单元下一步不能再放。于是一个峰电位直接点燃的后代数服从二项分布 $\mathrm{Bin}(10,\sigma/10)$ ，平均为 $\sigma$ ，这个数叫分支比。

如果每一代都独立地这样繁殖，第 $k$ 代的平均大小是 $\sigma^k$ ，整个级联的平均大小是几何级数之和。 $\sigma<1$ 时级联总会熄灭， $\sigma>1$ 时有一定概率永远长下去， $\sigma=1$ 正好在两者之间，这就是临界点。

在没有外部输入的安静网络里踢动一个单元，重复 20000 次来检验这个推理。 $\sigma=0.5$ 时第一代平均 $0.4986\pm0.0049$ ，只放一个峰电位的比例 0.6006，精确值 $0.95^{10}=0.5987$ ；级联平均大小 $1.989\pm0.014$ ，理论值 2。 $\sigma=0.8$ 时第二代平均 $0.630\pm0.007$ ，低于独立繁殖给出的 0.64；平均大小 $4.83\pm0.06$ ，低于 5。

差别来自网络本身：两个峰电位同时打中同一个邻居，只能让它放一次电；刚放过电的单元也不能接着放。第一代的后代都来自同一个单元的 10 个不同邻居，不会撞车，所以和二项分布完全一致；越往后，撞车越多，后代就比独立繁殖少。

\langle A_k\rangle=\sigma^{k},\qquad \langle s\rangle=\sum_{k\ge0}\sigma^{k}=\frac{1}{1-\sigma}\quad(\sigma<1)

第

k

代的平均峰电位数和整个级联的平均大小

\langle s\rangle

，级联从一个峰电位开始，各代独立繁殖。

来源：S. Zapperi · J. Wilting and V. Priesemann

临界点上，大小分布按负二分之三次方下降

Zapperi、Lauritsen 和 Stanley 研究了最简单的情形：每个活跃位点以概率 $p$ 产生两个新的活跃位点，否则停下。分支比是 $2p$ ，临界点在 $p=1/2$ 。这时级联大小只能是奇数，精确分布由 Catalan 数给出： $P(1)=0.5$ ， $P(3)=0.125$ ， $P(5)=0.0625$ ， $P(7)=0.0390625$ 。

大尺寸时，他们的式 (8) 把它近似成 $s^{-3/2}$ 乘一个指数截断。截断尺寸 $s_c$ 在临界点发散： $p=0.45$ 时是 199， $p=0.49$ 时是 4999。我们用精确的 Catalan 公式检查这个近似： $p=1/2$ 、 $s=2001$ 时两者之比 0.99963， $s=101$ 时 0.99265； $p=0.45$ 、 $s=401$ 时 0.99814。

他们还给出级联持续时间的分布按 $t^{-2}$ 下降。指数 3/2 不只属于二分支：我们直接模拟了 20000 棵后代数服从平均为 1 的 Poisson 分布的树，用下一章的最大似然方法拟合，得到 $1.4981\pm0.0045$ 。

反过来不成立。下一章会看到，没有任何临界级联的系统也能给出很像 3/2 的指数。

P(2k+1)=C_k\,p^{k}(1-p)^{k+1},\quad C_k=\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k};\qquad P(s)\simeq\sqrt{\frac{2(1-p)}{\pi p}}\;s^{-3/2}e^{-s/s_c},\quad s_c=-\frac{2}{\ln[4p(1-p)]}

左式：二分支过程级联大小的精确分布。右式：Zapperi 等人的式 (8)，在

1\ll s

时成立，

s_c

是截断尺寸。

来源：S. Zapperi

从峰电位到雪崩：时间箱决定了切法

实验看不到级联的家谱，只看到一串带时间的峰电位。通常的做法是：把所有电极记录到的事件合在一起，按宽度相同的时间箱计数；连续的非空箱组成一场雪崩，两边各有一个空箱。雪崩大小是这些箱里的事件总数，持续时间是箱的个数。

下图的计数序列被切成三场雪崩，大小是 6、1、6，持续时间是 3、1、2。把箱宽加倍，相邻两箱合并，原来被一个空箱隔开的后两场就连成一场。雪崩的大小分布因此既取决于网络，也取决于箱宽。

Lab 默认的电极阵列覆盖 1000 个单元中的 608 个，30 万步里记录到 2979 场雪崩，平均大小 114.5，最大 7461。对 10 个随机种子求平均，箱宽为 1、4、8 步时拟合指数分别是 1.461、1.393、1.387，变化不大。没有耦合、输入速率在几档之间跳变的模仿模型，同样三种箱宽给出 6.16、3.96、1.87。Priesemann 和 Shriki 指出，这种对箱宽的敏感正是区分两者的线索之一。

从分箱计数里切出雪崩。柱高是每个箱的事件数，琥珀色括号标出一场雪崩，数字是它的大小。上：十二个宽一步的箱，被空箱隔开的非空箱段给出大小为 6、1、6 的三场雪崩。下：同样的事件放进宽两倍的箱，后两场合成一场大小为 7 的雪崩。计数是虚构的例子，不是记录数据。

来源：V. Priesemann and O. Shriki · S. Zapperi

只记录一部分，分支比看起来变小

最直接的估计是把下一箱的计数对这一箱的计数做回归，斜率就是分支比，称为传统估计。Wilting 和 Priesemann 指出，只记录一部分单元时，每个滞后 $k$ 的回归斜率 $r_k$ 都被乘以同一个因子 $b$ 。一步斜率因此偏小，但斜率随 $k$ 衰减的速率不变，拟合整条衰减曲线就能找回 $m$ ，这叫多步回归。他们的例子中， $m=0.9$ 的过程只记录 10% 时，传统估计只有 0.312。

对每个峰电位独立地以 10% 的概率保留，可以从完整记录的均值、方差和一步协方差精确算出保留后的一步斜率。Lab 网络的一份记录预测 0.601，实测 $0.6015\pm0.0104$ ；12 份记录的偏差都在 2.4 个标准误以内。

Lab 默认设置下，阵列记录的一步斜率是 0.965，多步回归给出 $0.9848\pm0.0007$ ；对全部 1000 个单元做多步回归得到 0.9855。名义分支比是 1.05，实际只有 0.985，原因还是撞车和刚放过电的单元不能接着放。在安静网络里踢动一个单元，平均点燃 155 个峰电位，对应 $1-1/155=0.9936$ 。

r_k=\frac{\operatorname{Cov}(a_{t+k},a_t)}{\operatorname{Var}a_t}=b\,m^{k},\qquad \hat m_{\mathrm{C}}=r_1=b\,m,\qquad \tau=-\frac{\Delta t}{\ln m}

a_t

是第

t

箱记录到的计数。部分记录让所有

r_k

乘以同一个

b

；传统估计只用

r_1

，多步回归拟合整条曲线。

\tau

是活动的相关时间。

来源：J. Wilting and V. Priesemann

完整例题：从 20 个电极读出分支比

题目。在 Lab 默认网络的同一份记录里，只用一角 5 乘 4 的 20 个电极。一步、十步、二十步的回归斜率是 $r_1=0.4908$ ， $r_{10}=0.2738$ ， $r_{20}=0.2175$ 。传统估计是多少？用十步和二十步两个斜率估计 $m$ 、 $b$ 和相关时间，并与整个网络的 0.9855 比较。

建模。用 $r_k=b\,m^k$ 。两式相除消去 $b$ ： $m=(r_{20}/r_{10})^{1/10}$ 。

计算。传统估计就是 $r_1=0.491$ ，照字面理解，一次级联平均只有 $1/(1-0.491)\approx2$ 个峰电位。两步估计 $m=(0.2175/0.2738)^{1/10}=0.9772$ ， $b=0.2738/0.9772^{10}=0.345$ ，相关时间 $\tau=-1/\ln0.9772=43$ 步。整个网络的 0.9855 对应 68 步。

解释。两步估计把 0.491 拉回到 0.977，大部分偏差来自部分记录，可以被消掉；剩下的差距来自电极的位置。同一份记录里把 20 个电极随机撒在整片网络上，试了 5 种撒法，两步估计在 0.981 到 0.988 之间，多步回归在 0.9845 到 0.9864 之间，与整个网络一致。一个可能的原因是：挤在一角的电极总是一起看到同一场局部级联，级联很快走出这一角，给斜率加上了一段快速的早期衰减，这不是网络本身的分支比。

检验。随机撒开的 20 个电极一步斜率只有 0.30 到 0.34，比挤在一角的 0.491 还小，但它们给出的分支比更准。分支比体现在斜率随滞后衰减的速率上；一步斜率的大小主要反映阵列记录到了网络的多少。

来源：J. Wilting and V. Priesemann

到实验里试一试

临界与亚临界的级联

先预测：把耦合从 $\sigma=1.05$ 降到 0.8，雪崩大小分布的尾巴和分支比估计会怎样变？
先看“接近临界点的级联”，读出拟合指数和多步估计；再选“很快熄灭的级联”，比较大小分布图和两个读数。
解释：分支比降到约 0.77，级联很快熄灭，最大的雪崩只有一百多个事件，幂律拟合被否定；踢动一个单元只得到几个峰电位。

箱宽和电极位置

先预测：在接近临界的网络里，把分析用的时间箱从 1 步拖到 8 步，拟合指数会变多少？在“漂移输入，没有耦合”里呢？
依次在两个预设里拖动时间箱，记下指数；再选“少数电极看到的很少”，拖动阵列或它的角，看分支比估计怎样变。
解释：耦合网络的指数只从约 1.46 变到约 1.39，漂移输入的模仿者变化大得多。电极少而且挤在一起时，多步估计也会偏低，阵列放大后回到 0.985 附近。

练习与解答

$\sigma=0.5$ 时，一个峰电位一个后代都没有的概率是多少？如果把后代数近似成平均 0.5 的 Poisson 分布呢？
展开解答
二项分布给出 $(1-0.05)^{10}=0.599$ ，Poisson 近似给出 $e^{-0.5}=0.607$ 。模拟得到 0.6006，与二项分布一致；只有 10 个邻居时 Poisson 近似略高。
二分支过程的截断尺寸要超过 Lab 默认记录中最大的雪崩 7461， $p$ 至少要多接近 1/2？
展开解答
由 $-2/\ln[4p(1-p)]=7461$ 得 $4p(1-p)=e^{-2/7461}$ ，解出 $p=0.4918$ ，离 1/2 不到 0.01。在有限的记录里，略低于临界和正好临界很难分开。
计数序列 0, 2, 3, 1, 0, 0, 1, 0, 4, 2, 0, 0 在箱宽为 1 时切出大小 6、1、6 的三场雪崩。箱宽加倍（每两个相邻箱合并）后，雪崩的大小和持续时间是多少？
展开解答
合并后的序列是 2, 4, 0, 1, 6, 0，只剩两场雪崩：大小 6、持续 2 箱，大小 7、持续 2 箱。原来大小为 1 的那场被并进了后面的一场。
部分记录让所有斜率乘以 $b=0.6$ ，真实分支比 $m=0.985$ 。一步斜率和三十步斜率各是多少？
展开解答
$r_1=0.6\times0.985=0.591$ ， $r_{30}=0.6\times0.985^{30}=0.381$ 。只看 $r_1$ 会把网络误判成明显亚临界。

来源与复算范围

S. Zapperi, K. B. Lauritsen and H. E. Stanley, Self-organized branching processes: mean-field theory for avalanches, arXiv:cond-mat/9509161v1; Physical Review Letters 75, 4071 (1995)
v1，全文已读。二分支过程，临界概率为二分之一。式 (6a)、(7)：雪崩大小的生成函数。式 (8)：指数 3/2 的大小分布，截断大小为 −2/ln[4p(1−p)]。式 (11)：临界时的分布。持续时间的指数为 2。我们用 Catalan 数复算了小尺寸的精确概率，并检查了渐近式的系数。
J. Wilting and V. Priesemann, Inferring collective dynamical states from widely unobserved systems, arXiv:1608.07035v3; Nature Communications 9, 2325 (2018)
v3，读了正文第 1 至 3 页，未读补充方法。带外部驱动的分支过程；传统估计量是下一步计数对当前计数的回归斜率；欠采样让每个滞后斜率乘上同一个因子；多步回归估计量在多个滞后上拟合这条指数曲线。文中的例子：m = 0.9 的过程只采 10 % 时，传统估计给出 0.312。
V. Priesemann and O. Shriki, Can a time varying external drive give rise to apparent criticality in neural systems?, PLoS Computational Biology 14, e1006081 (2018)
读了引言、结果和讨论，未读方法部分。如何从分箱后的事件定义雪崩。恒定速率的 Poisson 过程不会给出幂律；速率在几个值之间切换时，大小分布在有限范围内接近指数约 3/2 的幂律。能区分两者的统计量；以及他们的结论：被动分析排除不了模仿临界活动的外部驱动，需要小而可控的扰动。