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Sandbox Physics
神经元的统计物理

L2 · 第 2 章

电压钳分开钠电流和钾电流，门控变量描述它们

Sandbox Physics ·

上一章的膜方程里有三项离子电流，它们的电导都随电压和时间变化。电压一变，电流就变；电流一变，电压又变。Hodgkin 和 Huxley 拆开这个循环的办法是电压钳：用反馈电路把电压固定住，再测需要注入多少电流。本章讲这个实验能测到什么，以及他们用来描述结果的三个门控变量。

把电压钉住，电流就分开了

电压钳用一个反馈放大器比较膜电压与指令电压 ucu_c，差多少就注入多少电流把它拉回来。阶跃之后电压不再变，du/dt=0du/dt=0，电容电流为零。放大器注入的电流正好等于穿过通道的离子电流。

从静息阶跃到 60 mV，测到的电流先是向内的一个尖峰，几毫秒后变成持续向外的电流。在同一组系列论文的前几篇里，Hodgkin 和 Huxley 已经认出内向成分是钠电流，晚到的外向成分是钾电流；1952 年这篇的开头总结了这些结果。阶跃的高度不同，两种电流的大小和快慢也不同，这就给出了电导随电压和时间变化的全部信息。

钠电流在 uc=ENa=115 mVu_c=E_{\mathrm{Na}}=115\ \mathrm{mV} 时为零，越过它就反向。这是区分两种电流的另一个办法，在实验里可以直接试。

dudt=0 ⇒ Iext=gNa m3h (uc−ENa)+gK n4 (uc−EK)+gL (uc−EL)\frac{du}{dt}=0\ \Rightarrow\ I_{\mathrm{ext}}=g_{\mathrm{Na}}\,m^{3}h\,(u_c-E_{\mathrm{Na}})+g_{\mathrm{K}}\,n^{4}\,(u_c-E_{\mathrm{K}})+g_L\,(u_c-E_L)
钳住后，注入电流就是三项离子电流之和。mm、hh、nn 在阶跃后随时间变化，电流也随之变化。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · W. Gerstner

门控变量：每个都是一阶弛豫

Hodgkin 和 Huxley 把钾电导写成 gKn4g_{\mathrm{K}}n^4，钠电导写成 gNam3hg_{\mathrm{Na}}m^3h，最大电导分别是 36 和 120 mS/cm²。nn 和 mm 随去极化增大，叫激活变量；hh 随去极化减小，叫失活变量。每个变量都在 0 和 1 之间，按同一种一阶方程变化。

电压固定时，方程的解是从旧稳态到新稳态的指数弛豫，速度由时间常数决定（Gerstner 等人式 (2.6)、(2.7)）。速率常数是 6.3 °C 下的拟合结果，单位是每毫秒。温度升高 10 °C，所有速率乘 3。

为什么是三次方和四次方？去极化之后，钾电导先慢后快地上升，曲线呈 S 形；复极化时却立刻按指数下降。一个一阶变量的四次方正好有这两种形状：nn 从小值出发按指数上升时，n4n^4 一开始几乎不动。钠电导的 m3m^3 也是同样的道理，再乘上慢慢关闭的 hh，就得到先升后降的钠电流。

dxdt=ϕ [αx(u)(1−x)−βx(u) x],x∞=αxαx+βx,τx=1ϕ (αx+βx),ϕ=3(T−6.3 ∘C)/10 ∘C\frac{dx}{dt}=\phi\,\bigl[\alpha_x(u)(1-x)-\beta_x(u)\,x\bigr],\qquad x_\infty=\frac{\alpha_x}{\alpha_x+\beta_x},\quad \tau_x=\frac{1}{\phi\,(\alpha_x+\beta_x)},\quad \phi=3^{(T-6.3\,^{\circ}\mathrm{C})/10\,^{\circ}\mathrm{C}}
xx 代表 mm、hh 或 nn。ϕ\phi 是温度因子，6.3 °C 时为 1。
αm=0.1 (25−u)e(25−u)/10−1,βm=4 e−u/18,αh=0.07 e−u/20,βh=1e(30−u)/10+1,αn=0.01 (10−u)e(10−u)/10−1,βn=0.125 e−u/80\begin{aligned}\alpha_m&=\frac{0.1\,(25-u)}{e^{(25-u)/10}-1}, & \beta_m&=4\,e^{-u/18},\\ \alpha_h&=0.07\,e^{-u/20}, & \beta_h&=\frac{1}{e^{(30-u)/10}+1},\\ \alpha_n&=\frac{0.01\,(10-u)}{e^{(10-u)/10}-1}, & \beta_n&=0.125\,e^{-u/80}\end{aligned}
Hodgkin–Huxley 速率常数，uu 以 mV 计、去极化为正，速率以 ms−1\mathrm{ms^{-1}} 计。论文式 (12)、(13)、(20)、(21)、(23)、(24) 用的是相反的电压符号，代入 V=−uV=-u 即得这里的形式。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · W. Gerstner

完整例题：阶跃到 60 mV

题目。6.3 °C 下把膜从静息钳到 uc=60 mVu_c=60\ \mathrm{mV}。求三个门控变量的新稳态值和时间常数、钠电导的峰值及出现时刻、钠电流的峰值，以及 10 ms 后的钾电流。

建模。静息时 m=0.0529m=0.0529、h=0.596h=0.596、n=0.318n=0.318。阶跃后每个变量按下面的指数式走向新稳态。钠电导是 120 m3h120\,m^3h，对时间求最大值；电流是电导乘 uc−Eu_c-E。

计算。代入速率公式：αm=3.609\alpha_m=3.609、βm=0.143\beta_m=0.143，于是 m∞=0.962m_\infty=0.962、τm=0.267 ms\tau_m=0.267\ \mathrm{ms}；h∞=0.0036h_\infty=0.0036、τh=1.05 ms\tau_h=1.05\ \mathrm{ms}；n∞=0.895n_\infty=0.895、τn=1.78 ms\tau_n=1.78\ \mathrm{ms}。在 t=0.67 mst=0.67\ \mathrm{ms} 时钠电导达到最大 26.6 mS cm−226.6\ \mathrm{mS\,cm^{-2}}，钠电流 26.6×(60−115)=−1.46 mA cm−226.6\times(60-115)=-1.46\ \mathrm{mA\,cm^{-2}}，负号表示向内。10 ms 时 gK=22.9 mS cm−2g_{\mathrm{K}}=22.9\ \mathrm{mS\,cm^{-2}}，钾电流 22.9×(60+12)=1.65 mA cm−222.9\times(60+12)=1.65\ \mathrm{mA\,cm^{-2}}，向外。

解释。mm 比 hh 快四倍，所以钠通道先打开再被关上，留下一个不到 1 ms 宽的内向电流峰。nn 更慢，钾电流在钠电流消退后才占上风。“快激活、慢失活、更慢的钾”这三个时间尺度，下一章会组合成一个峰电位。

检验。实验里的“电压钳分开两种电流”预设用的正是这次阶跃。它读出钠峰时刻的总电流 −1.27 mA cm−2-1.27\ \mathrm{mA\,cm^{-2}}：钠电流 −1.46，加上那一刻已经出现的钾电流 +0.16 和漏电流 +0.015。阶跃末读出 1.64 mA cm−21.64\ \mathrm{mA\,cm^{-2}}，和上面的钾电流加漏电流、减去残余钠电流一致。

x(t)=x∞(uc)−[x∞(uc)−x∞(0)] e−t/τx(uc)x(t)=x_\infty(u_c)-\bigl[x_\infty(u_c)-x_\infty(0)\bigr]\,e^{-t/\tau_x(u_c)}
阶跃后门控变量的解。三个变量各有自己的稳态值和时间常数。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · W. Gerstner

到实验里试一试

在钠的反转电位上钳住膜

  1. 先预测：把钳位指令电位调到 115 mV，早期那个向内的电流峰会变大、变小，还是消失？
  2. 选“电压钳分开两种电流”预设，读出早期电流和晚期电流；再把钳位指令电位拖到 115 mV，看电流曲线。
  3. 解释：115 mV 是钠的反转电位，钠通道开得再大也没有净钠电流，剩下的只有向外的钾电流和漏电流。

练习与解答

  1. 温度从 6.3 °C 升到 18.5 °C，速率常数乘多少？Hodgkin 和 Huxley 第 526 页印的是 3.84，对吗？

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    ϕ=31.22=3.82\phi=3^{1.22}=3.82。印出的 3.84 与公式差 0.5%。我们的模型用公式值，并在模型说明里记下这个差别。

  2. 钳在 60 mV 很久以后，钠电导和钠电流各是多少？

    展开解答

    gNa=120×0.9623×0.0036=0.39 mS cm−2g_{\mathrm{Na}}=120\times0.962^3\times0.0036=0.39\ \mathrm{mS\,cm^{-2}}，电流 0.39×(60−115)=−0.021 mA cm−20.39\times(60-115)=-0.021\ \mathrm{mA\,cm^{-2}}，只有峰值的 1.5%。失活把钠电流几乎全部关掉。

  3. 静息时 mm 的时间常数是多少？为什么说钠激活是模型里最快的过程？

    展开解答

    αm(0)=2.5/(e2.5−1)=0.224\alpha_m(0)=2.5/(e^{2.5}-1)=0.224，βm(0)=4\beta_m(0)=4，τm=1/4.22=0.237 ms\tau_m=1/4.22=0.237\ \mathrm{ms}。同样电压下 τh=8.5 ms\tau_h=8.5\ \mathrm{ms}、τn=5.5 ms\tau_n=5.5\ \mathrm{ms}，比它慢二三十倍。

  4. 为什么 n 的四次方会让钾电导的上升出现延迟，而下降没有？

    展开解答

    上升时 nn 从 0.32 开始变大，n4n^4 起初只有 0.01，要等 nn 涨上去才明显增加，曲线呈 S 形。下降时 nn 从接近 0.9 处按指数回落，n4n^4 也立刻下降，近似按 e−4t/τne^{-4t/\tau_n} 衰减。

来源与复算范围

  1. A. L. Hodgkin and A. F. Huxley, A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve, Journal of Physiology 117, 500–544 (1952), PMC1392413

    我们读了第 500 至 544 页的全部扫描页（PubMed Central）。第 505、506 页的符号约定：V 是相对静息电位的偏移，去极化为负，内向电流为正。速率常数：式 (12)、(13)、(20)、(21)、(23)、(24)。第 518 至 520 页的式 (26) 与表 3：完整的膜方程和 6.3 °C 下的常数，漏电位选成让静息时总电流为零。第 523 页：数值方法。图 12、13、21：阈值在 6 与 7 mV 之间。第 527 页表 4：峰电位的形状。第 532、533 页表 5：钠和钾的移动量。图 20：不应期。图 22：阳极断开。第 541 页：作者提醒这些方程只是经验描述。我们复算了膜动作电位的表 4 与表 5，没有复算传导动作电位那一行。

  2. W. Gerstner, W. M. Kistler, R. Naud and L. Paninski, Neuronal Dynamics, Cambridge University Press (2014), online edition, Sections 2.1 and 2.2

    第 2.1 节：Boltzmann 因子，式 (2.1)；Nernst 电位，式 (2.2)，以及钠约 +67 mV、钾约 −83 mV 的两个例子。第 2.2 节（Ch2.S2.html）：膜上的电荷守恒，式 (2.3)、(2.4)；三种离子电流，式 (2.5)；一阶门控方程，式 (2.6)；对电压阶跃的响应，式 (2.7)。这本书把膜电位记作 u，去极化为正，本课程沿用这个约定。

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