跳到主要内容
Sandbox Physics
神经元的统计物理

L1 · 第 1 章

细胞膜像电容器一样存电荷

Sandbox Physics ·

神经元的电信号都写在细胞膜两侧的电压上。膜本身几乎不导电，两侧却是导电的盐水，于是它就是一个电容器：往一侧送一点电荷，电压立刻升高。膜上的离子通道是漏电的小孔，每种通道背后还接着一节由浓度差形成的电池。本章搭好这张电路图，后面每一章都在它上面加东西。

薄绝缘膜两侧的电荷

细胞膜是两层脂质分子，厚度只有几纳米，几乎不让离子通过。膜内是细胞质，膜外是组织液，两边都是导电的盐溶液。导体夹着一层绝缘薄膜，这就是电容器。

Hodgkin 和 Huxley 在枪乌贼巨轴突上取膜电容 CM=1 μF cm−2C_M=1\ \mu\mathrm{F\,cm^{-2}}，他们实测的平均值是 0.91，范围 0.8 到 1.5（1952 年论文表 3）。于是每平方厘米膜上放 1 nC 电荷，膜电压就变 1 mV。

本课程用 uu 表示膜电位相对静息电位的偏移，膜内变正（去极化）时 u>0u>0。电荷守恒给出膜方程：外加电流一部分给电容充电，其余穿过各类通道。Gerstner 等人教材式 (2.3)、(2.4) 就是这样写的；Hodgkin 和 Huxley 的式 (1) 内容相同，只是符号约定相反。

Q=CM u,CMdudt=−[INa+IK+IL]+IextQ=C_M\,u,\qquad C_M\frac{du}{dt}=-\bigl[I_{\mathrm{Na}}+I_{\mathrm{K}}+I_{L}\bigr]+I_{\mathrm{ext}}
左式：电荷与电压成正比。右式：膜方程，IextI_{\mathrm{ext}} 是外加电流，三项离子电流以流出为正。一次很短的电击送进电荷 qq，电压就从 0 跳到 q/CMq/C_M。
膜外膜内外加电流电容钠钾漏电
把细胞膜画成电路。脂质层像电容 CMC_M 一样存电荷。每一类通道是一个电导 gxg_x，串联一节电压等于其反转电位 ExE_x 的电池；带箭头的是随电压变化的钠、钾电导。外加电流 IextI_{\mathrm{ext}} 要么给电容充电，要么穿过通道流走。原创示意图。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · W. Gerstner

浓度差就是电池

离子泵把钠往外搬、把钾往里搬，于是细胞内钾多钠少，细胞外钠多钾少。打开一种只让钾通过的通道，钾会顺着浓度差往外流，带走正电荷，膜内变负。负到一定程度，电场把钾往回拉的力和浓度差往外推的力抵消，净电流为零。这个电压就是钾的平衡电位。

平衡时离子密度服从 Boltzmann 分布，由此得到 Nernst 公式（Gerstner 等人式 (2.2)）。以哺乳动物神经元为例，胞内钾 140 mM、胞外 5 mM，20 °C 时 kBT/e=25.3 mVk_BT/e=25.3\ \mathrm{mV}，钾的平衡电位是 −84 mV-84\ \mathrm{mV}；钠胞外 145 mM、胞内 10 mM，平衡电位是 +68 mV+68\ \mathrm{mV}。

电压越过平衡电位，电流就反向，所以它也叫反转电位。在电路里，每种通道是一个电导串一节电池，电流等于电导乘以电压与反转电位之差。Hodgkin 和 Huxley 从实验拟合出枪乌贼轴突的三个反转电位，换成本课程的符号，相对静息电位分别是钠 ENa=+115 mVE_{\mathrm{Na}}=+115\ \mathrm{mV}、钾 EK=−12 mVE_{\mathrm{K}}=-12\ \mathrm{mV}、漏电 EL=+10.6 mVE_L=+10.6\ \mathrm{mV}。

E=kBTq ln⁡noutnin,Ix=gx (u−Ex)E=\frac{k_BT}{q}\,\ln\frac{n_{\mathrm{out}}}{n_{\mathrm{in}}},\qquad I_x=g_x\,(u-E_x)
qq 是离子电荷，nn 是浓度。右式：一种通道的电流，gxg_x 是它的电导。

来源：W. Gerstner · A. L. Hodgkin and A. F. Huxley

静息时各路电流相互抵消

静息并不是没有电流。按 Hodgkin–Huxley 模型，静息时钠电导是 0.0106 mS cm−20.0106\ \mathrm{mS\,cm^{-2}}，钠一直以 1.22 μA cm−21.22\ \mu\mathrm{A\,cm^{-2}} 往里流；钾电导 0.367 mS cm−20.367\ \mathrm{mS\,cm^{-2}}，钾以 4.40 μA cm−24.40\ \mu\mathrm{A\,cm^{-2}} 往外流；漏电流 3.18 μA cm−23.18\ \mu\mathrm{A\,cm^{-2}} 往里。三项相加为零，电压就不动。

这个零是设计出来的。Hodgkin 和 Huxley 在表 3 的脚注里说，漏电位 −10.613 mV-10.613\ \mathrm{mV}（他们的符号）就是为了让静息时总离子电流为零而选的。钠的持续内流和钾的持续外流慢慢消耗浓度差，细胞靠离子泵补回来；他们的方程里没有泵，因为泵在一次峰电位的毫秒尺度上可以忽略。

gNa(u−ENa)+gK(u−EK)+gL(u−EL)=0atu=0g_{\mathrm{Na}}(u-E_{\mathrm{Na}})+g_{\mathrm{K}}(u-E_{\mathrm{K}})+g_L(u-E_L)=0\quad\text{at}\quad u=0
静息条件。每一项都不为零，但三项之和为零。代入上面的数值，残差小于 0.005 μA cm−20.005\ \mu\mathrm{A\,cm^{-2}}，来自漏电位只取到三位小数。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · W. Gerstner

完整例题：一次 15 mV 的电击要多少离子

题目。Hodgkin 和 Huxley 用瞬时电击把膜推到初始去极化，再看它自己怎么走。要让膜一下子去极化 15 mV，每平方厘米需要多少电荷？相当于每平方微米多少个一价离子？如果之后通道的电导都冻结在静息值，电压多快回落？

建模。电荷 q=CMu0q=C_Mu_0。离子个数是电荷除以元电荷 e=1.602×10−19 Ce=1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}。电导冻结时，膜就是一个电阻并电容，时间常数是电容除以三种静息电导之和。

计算。q=1 μF cm−2×15 mV=15 nC cm−2q=1\ \mu\mathrm{F\,cm^{-2}}\times15\ \mathrm{mV}=15\ \mathrm{nC\,cm^{-2}}。离子数 15×10−9/1.602×10−19=9.36×1010 cm−215\times10^{-9}/1.602\times10^{-19}=9.36\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-2}}，即每平方微米约 936 个，合 0.155 pmol cm−20.155\ \mathrm{pmol\,cm^{-2}}。静息电导之和 0.0106+0.367+0.3=0.677 mS cm−20.0106+0.367+0.3=0.677\ \mathrm{mS\,cm^{-2}}，时间常数 τ=CM/g=1.48 ms\tau=C_M/g=1.48\ \mathrm{ms}。

解释。几百个离子就能把一平方微米的膜推高 15 mV，而这块膜对面的细胞质里有上亿个钾离子。电压变化快，浓度几乎不变，所以讨论一次峰电位时可以把电池当成恒定的。

检验。实际上通道不会冻结。15 mV 已经超过阈值，钠通道会打开，下一章开始讲它们怎样随电压变化。把电击降到 6 nC/cm²，模型给出的最高电压是 5.96 mV，随后回落，这才接近一个普通的电阻电容电路。

来源：A. L. Hodgkin and A. F. Huxley · W. Gerstner

到实验里试一试

电击送进的电荷决定起点

  1. 先预测：6 nC/cm² 的电击会把膜推到多少 mV？之后电压会继续上升还是回落？
  2. 选“刚好低于阈值”预设，读出峰值去极化；再把电击电荷调到 7，看结果有什么不同。
  3. 解释：电荷除以电容给出起点，之后电压往哪走由通道决定。6 和 7 之间的差别下一章再说。

练习与解答

  1. 一次 40 nC/cm² 的电击把膜推到多少 mV？每平方微米要送进多少个一价离子？

    展开解答

    起点 40 mV40\ \mathrm{mV}。离子数 40×10−9/(1.602×10−19×108)≈2.5×10340\times10^{-9}/(1.602\times10^{-19}\times10^{8})\approx2.5\times10^{3} 个每平方微米。

  2. 温度降到 6.3 °C 时，胞内钾 140 mM、胞外 5 mM 的平衡电位是多少？与 20 °C 相比如何？

    展开解答

    kBT/e=24.1 mVk_BT/e=24.1\ \mathrm{mV}，EK=24.1×ln⁡(5/140)=−80 mVE_{\mathrm{K}}=24.1\times\ln(5/140)=-80\ \mathrm{mV}。温度低，热运动弱，浓度差对应的电压也小，比 20 °C 时的 −84 mV 少了约 4 mV。

  3. Hodgkin 和 Huxley 的表 5 给出：18.5 °C 下一次传导的动作电位让每平方厘米膜净进入 4.33 pmol 钠。轴突半径 238 µm，胞内钠浓度升高多少？

    展开解答

    半径为 aa 的圆柱，单位膜面积对应的体积是 a/2a/2。Δc=2×4.33×10−12 mol cm−2/0.0238 cm=3.6×10−10 mol cm−3\Delta c=2\times4.33\times10^{-12}\ \mathrm{mol\,cm^{-2}}/0.0238\ \mathrm{cm}=3.6\times10^{-10}\ \mathrm{mol\,cm^{-3}}，约 0.36 µM。胞内钠是几十 mM 的量级，一次峰电位改变不到十万分之一。

  4. 静息时钠一直往里流，为什么膜电压不升高？

    展开解答

    因为钾往外流和漏电流加起来正好抵消钠的内流，总电流为零，电容上的电荷就不变。代价是浓度差被慢慢消耗，细胞靠离子泵消耗能量把它补回来。

来源与复算范围

  1. A. L. Hodgkin and A. F. Huxley, A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve, Journal of Physiology 117, 500–544 (1952), PMC1392413

    我们读了第 500 至 544 页的全部扫描页（PubMed Central）。第 505、506 页的符号约定：V 是相对静息电位的偏移，去极化为负，内向电流为正。速率常数：式 (12)、(13)、(20)、(21)、(23)、(24)。第 518 至 520 页的式 (26) 与表 3：完整的膜方程和 6.3 °C 下的常数，漏电位选成让静息时总电流为零。第 523 页：数值方法。图 12、13、21：阈值在 6 与 7 mV 之间。第 527 页表 4：峰电位的形状。第 532、533 页表 5：钠和钾的移动量。图 20：不应期。图 22：阳极断开。第 541 页：作者提醒这些方程只是经验描述。我们复算了膜动作电位的表 4 与表 5，没有复算传导动作电位那一行。

  2. W. Gerstner, W. M. Kistler, R. Naud and L. Paninski, Neuronal Dynamics, Cambridge University Press (2014), online edition, Sections 2.1 and 2.2

    第 2.1 节：Boltzmann 因子，式 (2.1)；Nernst 电位，式 (2.2)，以及钠约 +67 mV、钾约 −83 mV 的两个例子。第 2.2 节（Ch2.S2.html）：膜上的电荷守恒，式 (2.3)、(2.4)；三种离子电流，式 (2.5)；一阶门控方程，式 (2.6)；对电压阶跃的响应，式 (2.7)。这本书把膜电位记作 u，去极化为正，本课程沿用这个约定。

反馈这个页面有错误、看不明白，或者缺了什么？告诉我们
反馈类型

提交时会附带本页地址、Lab ID、网站语言和设备类型。请不要填写个人信息。反馈最多保存 12 个月。隐私政策