L4 · 第 7 章

幂律为什么不能证明大脑处在临界点

Sandbox Physics · 2026-10-31

上一章算出，处在临界点的分支过程给出指数为二分之三的雪崩大小分布。实验里常常反过来推：记录到的雪崩接近幂律，于是认为大脑处在临界点。本章检查这条推理。先把幂律拟合做对，再在真值已知的模拟里看哪些检验会被骗、被什么骗，最后看一篇预印本对“拟合出的模型总靠近临界点”给出的另一种解释。

先把幂律拟合做对

在双对数坐标上画直线不是检验。Clauset、Shalizi 和 Newman 给出的做法分三步：对每个候选下限 $s_{\min}$ 用最大似然估计指数，选让数据与拟合分布之间 Kolmogorov–Smirnov 距离 $D$ 最小的下限；再用同一分布生成许多组合成数据，看其中有多大比例的距离比实测的还大，这个比例就是拟合优度的 $p$ 。 $p\ge0.1$ 表示幂律没有被否定，并不表示它被证明了。

离散数据的指数有一个近似公式，见下式，他们报告在 $s_{\min}$ 大约 6 以上时准确到 1% 左右。我们用已知指数的合成数据检验了 Lab 用的拟合，每种 40 组、每组 3000 个：真值 1.5 时得到 $1.4969\pm0.0020$ ，真值 2 时 $1.988\pm0.006$ ，真值 2.5 时 $2.434\pm0.015$ 。最后一种偏低 4.5 个标准误，因为这时选出的下限中位数只有 3，低于近似公式适用的范围。

Lab 的 $p$ 值有一处简化：合成数据沿用实测数据选出的下限，而原方法对每组合成数据都重新选下限。合成数据少了这一步优化，距离普遍偏大，所以 Lab 的 $p$ 值比原方法宽松。

\hat\alpha\simeq1+n\Bigl[\sum_{i=1}^{n}\ln\frac{s_i}{s_{\min}-\frac12}\Bigr]^{-1},\qquad \sigma_{\hat\alpha}=\frac{\hat\alpha-1}{\sqrt n},\qquad D=\max_{s\ge s_{\min}}\bigl|S(s)-P(s)\bigr|

左：离散数据的近似最大似然指数，只用

s_i\ge s_{\min}

的

n

个事件。中：它的统计误差。右：数据的累积分布

S

与拟合分布

P

之间的 Kolmogorov–Smirnov 距离。

来源：A. Clauset · J. Touboul and A. Destexhe

没有临界级联，也能得到幂律

Touboul 和 Destexhe 发现，对随机信号设一个阈值，或者把记录打乱得到替代信号，都能出现类似神经雪崩的标度；双对数图上的直线经不起检验。Priesemann 和 Shriki 进一步说明：速率恒定的 Poisson 过程不会给出幂律，但只要输入速率在几档之间切换，雪崩大小就会在有限范围内接近指数约为 3/2 的幂律。Morrell、Sederberg 和 Nemenman 则让彼此独立放电的神经元共享几路缓慢变化的输入，重现了此前被当作临界迹象的粗粒化标度。

Lab 里有两个这样的模仿者，单元之间完全没有耦合。共享慢输入的那个，在默认阵列和 4 步箱宽下给出 $\hat\alpha=2.13$ ， $p=0.87$ ，覆盖 2.7 个数量级；多步回归给出 0.997。漂移输入的那个，多步回归给出 1.000。

多步回归被骗的原因很直接：它只看活动在时间上相关多久，而缓慢变化的输入本身就让活动长时间相关，不需要任何单元去点燃别的单元。Priesemann 和 Shriki 的结论是，被动分析排除不了一个恰好模仿临界活动的外部驱动，需要小而可控的扰动。

来源：J. Touboul and A. Destexhe · V. Priesemann and O. Shriki · M. C. Morrell · J. Wilting and V. Priesemann

一张假阳性表

为了看每种检验各会被什么骗过，我们取 4 个真值已知的模型：接近临界的耦合网络、亚临界的耦合网络，以及漂移输入和共享慢输入两个无耦合模仿者。每个模型用 3 种电极阵列（覆盖 60.8%、10%、2% 的单元）、3 种箱宽（1、4、8 步）和 10 个随机种子各分析一次，共 90 次。

幂律可信（ $p\ge0.1$ 且至少 1.5 个数量级）：接近临界的网络 0.178，共享慢输入 0.378，漂移输入 0.022，亚临界 0。共享慢输入通过的次数是真正接近临界的网络的两倍多。真正接近临界的网络有 82% 的分析没有通过：用 10% 和 2% 阵列的 60 次全部失败；用最大的阵列，箱宽 1、4、8 步时 10 次中分别通过 3、8、5 次。反过来，没有通过幂律检验，也说明不了网络不临界。

幂律可信并且指数在 1.5 加减 0.2 之内，这个朴素判据只有接近临界的网络通过，比例 0.178；两个模仿者那些可信的拟合，指数都在 1.75 到 2.74 之间。多步回归不低于 0.95：两个模仿者每次都通过，接近临界的网络 0.433，亚临界 0。

最后一项是干预：暂停外部输入，踢动一个被记录的单元，看平均记录到的峰电位是否多于 2 个。接近临界的网络 90 次全部通过，两个模仿者一次都没有，亚临界网络 0.667。踢动能区分有没有耦合；要判断离临界多近，还要看一次踢动在整个网络里点燃多少峰电位。

来源：A. Clauset · V. Priesemann and O. Shriki · J. Wilting and V. Priesemann

拟合出的模型为什么常靠近临界点

另一类证据来自最大熵模型：只用每个神经元的平均活动和两两相关拟合出一个 Ising 型模型，常常发现参数落在相变附近。Carcamo 和 Lynn 2026 年的预印本给出一种解释。在只保留平均活动 $m$ 和相关强度 $\chi$ 的 Curie–Weiss 模型里，参数空间中靠近临界的一小块，对应统计量空间里很大一片；神经元越多，这一片越大。于是从数据反推参数时，模型自然挤向临界线，不需要精细调节。

我们只在模型上检查了他们的式 (3)，没有重新分析任何记录。取 $m=-0.8$ 、 $\chi=2$ ，这已超过平均场理论允许的上限 0.712。精确求解反问题： $N=20$ 、100、1000 时 $\lambda$ 为 1.478、1.374、1.371，都大于临界值 1； $h$ 为 $-0.110$ 、 $-0.033$ 、 $-0.0048$ ，随 $N$ 增大趋于 0，也就是趋向临界线。式 (3) 的双势阱近似给出的 $\lambda$ 误差从 1.8% 降到 0.29%。

原文第 11 页说推出的耦合超过临界强度，括号里却写成 $\lambda\ge0$ 。按式 (3)， $\lambda=\tanh^{-1}(m_0)/m_0$ 对所有 $0<m_0<1$ 都不小于 1，而这个模型的临界强度是 1，所以应读作 $\lambda\ge1$ 。Carcamo 和 Lynn 的结果目前只有预印本，还没有经过同行评审。

P(\mathbf x)\propto\exp\Bigl[h\sum_{i}x_i+\frac{\lambda}{2N}\Bigl(\sum_{i}x_i\Bigr)^{2}\Bigr],\qquad m_0=\sqrt{m^2+\chi/N},\quad h\simeq\frac{1}{N m_0}\tanh^{-1}\frac{m}{m_0},\quad \lambda\simeq\frac{1}{m_0}\tanh^{-1}m_0

左：

x_i=\pm1

的 Curie–Weiss 模型，

h

是外场，

\lambda

是耦合强度。右：预印本式 (3) 的双势阱近似，由平均活动

m

和相关强度

\chi

（总体平均活动的方差乘以

N

）推出参数。

来源：D. P. Carcamo and C. W. Lynn · M. C. Morrell

完整例题：给 Lab 的默认记录做一次完整检验

题目。Lab 默认记录中，选出的下限是 $s_{\min}=2$ ，不小于它的雪崩有 $n=1990$ 场， $\sum\ln[s_i/(s_{\min}-\tfrac12)]=4306.3$ ，最大的一场 7461，拟合优度 $p=0.21$ 。求指数和误差，判断幂律是否可信。再把共享慢输入的模仿者做一遍： $n=646$ ， $s_{\min}=11$ ，求和为 572.08，最大 5401， $p=0.87$ 。最后用踢动结果下结论。

建模。用上式的近似最大似然和误差公式；覆盖的数量级数是最大值与下限之比的常用对数。

计算。默认记录： $\hat\alpha=1+1990/4306.3=1.462$ ， $\sigma_{\hat\alpha}=0.462/\sqrt{1990}=0.0104$ ，覆盖 $\log_{10}(7461/2)=3.57$ 个数量级， $p=0.21$ ，幂律可信，指数离 1.5 只差 0.04。模仿者： $\hat\alpha=1+646/572.08=2.129$ ， $\sigma_{\hat\alpha}=0.0444$ ，覆盖 $\log_{10}(5401/11)=2.69$ 个数量级， $p=0.87$ ，幂律同样可信。

解释。两份记录都通过了幂律检验，区别只在指数。踢动给出决定性的差别：默认网络里，每次踢动平均记录到 97 个峰电位，整个网络里 155 个，对应级联比 $1-1/155=0.9936$ ；模仿者每次只有被踢的那一个。前者是接近临界的耦合级联，后者根本没有级联。

检验。算出的两个误差 0.0104 和 0.0444 与 Lab 读数一致。如果模仿者的指数恰好接近 1.5，幂律检验和指数都分不开两者，只剩踢动。

来源：A. Clauset · V. Priesemann and O. Shriki

到实验里试一试

幂律骗得过拟合，骗不过踢动

先预测：选“共享慢输入，没有耦合”，幂律拟合会被否定吗？多步回归会给出多少？
选这个预设，读出拟合指数、p 值、多步估计和踢动读数；再回到“接近临界点的级联”，比较四个读数。
解释：模仿者的幂律同样可信，多步估计甚至更接近 1，但踢动只得到被踢的那一个峰电位；耦合网络的一次踢动会点燃近百个记录到的峰电位。

慢输入让多步回归失灵

先预测：在“漂移输入，没有耦合”里，单元之间没有任何连接，多步回归会给出多少？
选这个预设读出多步估计；再把分析用的时间箱从 8 步拖到 1 步，看指数和多步估计。
解释：多步估计约为 1.000，因为输入的缓慢漂移让活动在很长时间内相关；指数随箱宽大幅变化，这本身就是没有级联的迹象。

练习与解答

一份记录在下限以上有 500 场雪崩，拟合指数 1.5。统计误差是多少？要把误差降到 0.005，大约需要多少场？
展开解答
$0.5/\sqrt{500}=0.022$ ；由 $0.5/\sqrt n=0.005$ 得 $n=10^4$ 。这里只算了统计误差，选下限和离散近似带来的系统误差另算。
为什么让合成数据沿用实测数据的下限，会让拟合优度的 p 值偏宽松？
展开解答
实测数据的下限是专门挑来让距离最小的。合成数据如果不再挑下限，它们的距离普遍偏大，比实测距离更大的比例就偏高，p 值也就偏大。原方法对每组合成数据也重新挑下限，两边受到同样的优化。
Lab 的亚临界网络里，一次踢动平均在整个网络中点燃 4.84 个峰电位。对应的级联比是多少？与对全部单元做多步回归得到的约 0.79 比较。
展开解答
$1-1/4.84=0.793$ ，与 0.79 一致。在亚临界网络里，安静时的单次级联和持续活动中的分支比差别不大；接近临界时撞车更多，两者相差较大（0.9936 对 0.9855）。
用预印本式 (3) 计算 $m=-0.8$ 、 $\chi=2$ 、 $N=1000$ 时的 $\lambda$ 和 $h$ 。
展开解答
$m_0=\sqrt{0.64+0.002}=0.8012$ ， $\lambda=\tanh^{-1}(0.8012)/0.8012=1.3755$ ， $h=\tanh^{-1}(-0.8/0.8012)/(1000\times0.8012)=-0.00447$ 。精确解是 1.3715 和 $-0.00476$ ， $\lambda$ 相差 0.29%。

来源与复算范围

J. Wilting and V. Priesemann, Inferring collective dynamical states from widely unobserved systems, arXiv:1608.07035v3; Nature Communications 9, 2325 (2018)
v3，读了正文第 1 至 3 页，未读补充方法。带外部驱动的分支过程；传统估计量是下一步计数对当前计数的回归斜率；欠采样让每个滞后斜率乘上同一个因子；多步回归估计量在多个滞后上拟合这条指数曲线。文中的例子：m = 0.9 的过程只采 10 % 时，传统估计给出 0.312。
V. Priesemann and O. Shriki, Can a time varying external drive give rise to apparent criticality in neural systems?, PLoS Computational Biology 14, e1006081 (2018)
读了引言、结果和讨论，未读方法部分。如何从分箱后的事件定义雪崩。恒定速率的 Poisson 过程不会给出幂律；速率在几个值之间切换时，大小分布在有限范围内接近指数约 3/2 的幂律。能区分两者的统计量；以及他们的结论：被动分析排除不了模仿临界活动的外部驱动，需要小而可控的扰动。
A. Clauset, C. R. Shalizi and M. E. J. Newman, Power-law distributions in empirical data, arXiv:0706.1062v2; SIAM Review 51, 661–703 (2009)
v2，部分阅读：摘要、框 1、第 3.1 节离散最大似然、第 3.3 节用 Kolmogorov–Smirnov 距离选下限，以及第 4 节中关于 p 值的部分。带半整数修正的离散近似指数；p 大于 0.1 只说明幂律可信，不说明已被证明；p 值大也不能说明数据就是幂律。
J. Touboul and A. Destexhe, Can power-law scaling and neuronal avalanches arise from stochastic dynamics?, arXiv:0910.0805v3; PLoS ONE 5, e8982 (2010)
v3，部分阅读：摘要、引言和部分方法。双对数图上的直线不是可靠的检验；对随机信号设阈值，或把数据打乱后得到的替代信号，都可能出现类似的标度。
M. C. Morrell, A. J. Sederberg and I. Nemenman, Latent dynamical variables produce signatures of spatiotemporal criticality in large biological systems, arXiv:2008.04435v1; Physical Review Letters 126, 118302 (2021)
v1，读了摘要和模型部分。只要几路缓慢变化的共同输入，各自独立放电的神经元就能重现粗粒化下的标度，而这种标度此前被当作临界性的迹象。
D. P. Carcamo and C. W. Lynn, Emergence of criticality in models of real neurons, arXiv:2609.09438v1 (8 September 2026), preprint, not peer reviewed
v1，全文已读。拟合多神经元记录的模型往往靠近临界点，原因是参数空间里一小块区域对应统计量空间里很大一片；神经元越多，这种效应越强。他们的平均活动模型由式 (3) 给出拟合场和耦合的双势阱近似。作者说神经元数约 100 以上时，它收敛到精确参数。我们精确求解了同一个反问题来对比。第 11 页说拟合出的耦合超过临界强度，却写成耦合至少为 0；这个模型的临界强度是 1，我们按至少为 1 理解。