从模拟记录量出增长率

盒子的大小先筛一次波长

在边长 $L$ 的正方形里，左右相接，上下也相接，这叫周期边界。沿一条边走完一圈，波纹必须回到原来的相位。每个方向因此只能容纳整数个周期。

用整数 $n_x,n_y$ 给模式编号。零模式表示所有位置一起变化，其他模式才有空间起伏。对本课程默认的 $L=16$，沿横向第 $5$ 模的波数约为 $1.96$，落在上一章的连续增长区间内。

边界是模型的一部分。无通量墙壁要求法向梯度为零，允许的驻波与周期盒不同。比较两次模拟时，只改边界就可能换掉最容易增长的模式；这并不自动说明反应公式变了。

阅读来源：A. M. Turing

把一个模式从整幅图里取出来

给每个网格点乘上目标波纹的复共轭，再对全域取平均，就能提取对应的 Fourier 系数 $\widehat{\delta u}_{n_x,n_y}$。同相起伏会相加，其他完整周期的贡献相互抵消。取系数的模长，可以把图案整体平移引起的相位变化分出去。

实验中的增长点从保存的微小扰动记录计算，理论特征值单独画成参考线。彩色主场则继续演化到斑点清楚可见的时刻；两个阶段分别用来检验初期增长与观察后期图案。

初始扰动最好沿某个增长特征向量准备，让两种浓度以正确比例一起偏离稳态。若只扰动其中一种，通常会同时激发增长和衰减分量；最初一小段不一定已经表现为单一指数。

只拟合仍然足够小的那一段

若振幅 $A(t)=A_0e^{\lambda t}$，取自然对数后便是一条直线。对多个时刻的 $\log A(t)$ 拟合斜率，可以估计增长率。使用多个时刻比只除两帧更容易看出弯曲或暂态。

时间窗太早，记录可能仍混着衰减分量；太晚，峰值已经进入非线性反应区。把拟合窗口向前后各挪一点，检查斜率是否稳定。还要看原始振幅，而不是只看一条很直的对数线：接近舍入误差的极小信号也可能给出误导结果。

没有额外观测噪声的确定性模拟，拟合残差主要反映暂态、非线性和数值误差。它不等于真实生物样本的不确定性。若要讨论噪声，先给出随机过程、种子与重复次数，再比较多个独立记录。

网格也有自己的增长谱

五点差分用邻格近似 Laplace 算子。网格间距为 $h=L/N$ 时，一个波纹对应下面的离散本征值。它与连续空间结果 $-q^2$ 的差别随分辨率改变，短波差别最大。

先拿拟合点与同一网格的理论比较，检查时间积分和记录处理；再加密网格，与连续理论比较，检查空间离散误差。只减小时间步，不能消除一个太粗网格留下的偏差。

加密时保持物理盒子长度、反应参数与模式编号不变。否则换掉的可能是问题本身。保存每次网格、时间步、边界和拟合窗口，别人才能重新计算同一组点。