算出哪些波纹会长大

固定一套可以算到底的反应

令 $u,v$ 是无量纲浓度，时间和长度也已选定参考尺度。采用 $f=a-u+u^2v$ 、 $g=b-u^2v$ ，其中 $a,b>0$ 是恒定供给。项 $u^2v$ 表示一种自催化转化：局部已有的第一种物质越多，转化越快。

均匀稳态没有扩散流。把两条反应方程相加，二次转化项消掉，得到 $u_*=a+b$ 。再代回第二条方程，得到 $v_*=b/(a+b)^2$ 。供给和消耗持续发生，浓度保持不变。

f(u_*,v_*)=g(u_*,v_*)=0,\qquad (u_*,v_*)=\left(a+b,\frac{b}{(a+b)^2}\right)

星号表示均匀稳态。这里的反应是开放系统，浓度总和随供给和消耗改变。

阅读来源：J. Schnakenberg

把小扰动的相互影响排成矩阵

在稳态旁写 $u=u_*+\delta u$ 、 $v=v_*+\delta v$ 。只保留扰动的一次项，相当于用局部切线近似反应曲线。四个偏导数排成的矩阵叫 Jacobian；每一列回答“轻轻增加一种物质，两条反应速率分别怎么变”。

若某个比例固定的扰动按 $e^{\lambda t}$ 变化，代入线性方程就得到特征值问题。 $\operatorname{Re}\lambda<0$ 表示衰减，正值表示增长；虚部表示在增长或衰减的同时振荡。二阶矩阵的迹是两个对角项之和，行列式是两条对角乘积之差。迹小于零且行列式大于零，便能保证两个特征值实部都为负。

J=\begin{pmatrix}-1+2b/(a+b)&(a+b)^2\\-2b/(a+b)&-(a+b)^2\end{pmatrix}

在稳态处计算偏导数。第一行控制第一种浓度的变化，第二行控制第二种。

\lambda^2-\operatorname{tr}(J)\lambda+\det J=0,\qquad \operatorname{tr}(J)<0,\quad\det J>0

后两个不等式是均匀反应稳定的条件。等号附近需要单独分析临界行为。

扩散怎样改写同一个矩阵

取空间波纹 $e^{i\mathbf q\cdot\mathbf x}$ ，其中 $q=|\mathbf q|$ 是波数，波长为 $2\pi/q$ 。对它求 Laplace 算子，结果是原波纹乘 $-q^2$ 。扩散因此从 Jacobian 的两个对角项中分别减去 $D_uq^2$ 与 $D_vq^2$ 。

两项都是负的，为什么还会失稳？因为两种反应变量相互耦合，单看对角项不能判断整套反馈。扩散改变了它们之间的相对响应，可能让原本稳定的耦合出现一个正特征值。

写 $J=(J_{ij})$ 。若反应已经稳定，扩散只会继续减小迹。若某个正波数对应的行列式为负，两个实特征值就一正一负。展开这个行列式，得到关于 $q^2$ 的上开口二次函数。

A(q)=J-q^2\begin{pmatrix}D_u&0\\0&D_v\end{pmatrix},\qquad \lambda_+(q)=\max\operatorname{Re}\operatorname{eig}A(q)

增长谱把每个波数与它最快的线性增长率对应起来。边界还会限制实际允许哪些波数。

\det A(q)=\det J-(D_vJ_{11}+D_uJ_{22})q^2+D_uD_vq^4

中间项足够大时，行列式会在有限波数区间降到零以下。

\operatorname{Re}\lambda_+(q)

解析参考 · 无量纲

着色区间：增长率为正

q

按本章例题参数计算的原创参考图。它给出连续模型的线性预测，与实验从模拟记录量出的增长点分开。

把图灵条件合在一起

记 $B=D_vJ_{11}+D_uJ_{22}$ 。二次函数要在正的 $q^2$ 处穿过零，必须有 $B>0$ ，并且判别式为正。加上先前的均匀稳定条件，就得到两组分、对角且常数扩散下的图灵条件。

若 $D_u=D_v=D$ ，每个特征值只减少 $Dq^2$ 。均匀态既然稳定，就没有空间模式能被这种等速扩散变成不稳定。这个极限是一个很实用的检查。

连续空间中存在增长区间，还不保证一个有限小盒子能容纳它。下一章会把边界和网格允许的波数放进来，再从真正的模拟记录估计增长率。

\operatorname{tr}J<0,\quad\det J>0,\quad B>0,\quad B^2>4D_uD_v\det J

这些条件描述反应稳定而连续空间某个非零波数不稳定；非线性饱和后的斑点形状还要由完整动力学决定。

阅读来源：A. M. Turing

完整例题

一组能挑出中等波长的参数

取 $a=0.1,b=0.9,D_u=0.05,D_v=1$ 。稳态为 $(1,0.9)$ ，Jacobian 为 $\left(\begin{smallmatrix}0.8&1\\-1.8&-1\end{smallmatrix}\right)$ ，迹为 $-0.2$ ，行列式为 $1$ 。反应本身稳定。

现在 $B=0.75$ ，判别式为 $0.3625>0$ 。解出行列式的两个零点，增长区间约为 $1.216<q<3.677$ 。直接取 $q=2$ ，矩阵的迹为 $-4.4$ 、行列式为 $-1.2$ ，较大特征值约为 $0.258$ 。

一条足够小的纯增长模，振幅在一个时间单位后约乘 $e^{0.258}\approx1.29$ 。这是早期预测；当扰动已经改变局部反应的斜率，便要回到完整非线性方程。

\det A(q)=1-0.75q^2+0.05q^4

代入同一组参数后，四项反应偏导数压缩成一个可以手算的多项式。

把推理带进实验

先预测，再看增长谱

用例题判断均匀反应是否稳定，再预测哪段波数会增长。
打开图灵预设，比较理论增长谱与从早期模拟记录估计的点；注意连续空间与离散网格参考的区别。
切换稳定和振荡预设。先检查零波数，再解释它们与图灵预设的差别。

练习与解释性答案

为什么只看到 $J_{11}>0$ ，还不能说均匀态不稳定？
展开解释
增加第一种物质会改变第二种物质，第二种又会反过来影响第一种。整体增长由矩阵特征值决定；例题第一对角项为正，两个均匀特征值实部仍为负。
把例题两种扩散率都改成 $0.05$ ，会出现扩散驱动的不稳定波数吗？
展开解释
不会。每个均匀特征值都减去 $0.05q^2$ ，实部只会更负。反应本身的稳定性已经保证所有波数衰减。
增长最快的线性波数是否足以唯一决定最后是斑点还是条纹？
展开解释
不足以。线性分析给出初期选择的尺度与增长速度。后期的模式耦合、边界、初始条件和非线性反应会影响图案形状。要研究最终状态，必须继续求解非线性方程。

课程来源与计算范围

推导、示意图与数值例由本课程编写。下面分别注明采用的方程、教学扩展和实际重算的已发表例子。交互场与带噪观测均来自所列模型。

A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis (1952), Philosophical Transactions B 237, 37–72
核读第 4 节第 42–43 页的两细胞数值例与第 6 节的模态分析。本课程复算第 4 节早期线性增长；没有复现原文图，也没有把 Schnakenberg 实验称为原文模型。
J. Schnakenberg, Simple Chemical Reaction Systems with Limit Cycle Behaviour (1979), Journal of Theoretical Biology 81, 389–400
原始反应模型的文献入口。这里明确写出采用的无量纲、不可逆教学形式，稳态、Jacobian 与数值参数均在课程中重新推导；没有声称使用生物标定参数。
D. Barkley, A Model for Fast Computer Simulation of Waves in Excitable Media (1991), Physica D 49, 61–70
核读第 2 节的两变量方程与文末模型适用性说明。本实验使用所列连续方程及自己的离散求解器，初态和预设由本课程设计，没有复现原文图像或转动频率。
E. J. Crampin, E. A. Gaffney and P. K. Maini, Reaction and Diffusion on Growing Domains (1999), Bulletin of Mathematical Biology 61, 1093–1120
核读第 3 节方程 9–20 的守恒、输运与域增长推导。原文主要讨论一维生长；本课程另推导二维均匀膨胀方域的稀释项，作为教学扩展，不复现原文倍频图。
M. Nishikawa, S. R. Naganathan, F. Jülicher and S. W. Grill, Controlling Contractile Instabilities in the Actomyosin Cortex (2017), eLife 6, e19595
核读 Appendix 方程 4–9 的密度通量、活性黏性应力、饱和函数与力平衡。这里把原文两组分调控简化成单密度与线性周转，另加局部应力抑制；没有拟合真实胚胎数据或复现原文图 2。原论文采用 CC BY 许可。
A. L. Krause, M. A. Ellis and R. A. Van Gorder, Influence of Curvature, Growth, and Anisotropy on the Evolution of Turing Patterns on Growing Manifolds (online 2018; issue 2019)
核读方程 4–6 的移动域守恒、14–15 的材料坐标及 44–45 的 Schnakenberg 反应与 Jacobian。这里的周期方域和参数是教学选择，没有复现原文椭圆几何或图 1–4。
L. Giomi, Geometry and Topology of Turbulence in Active Nematics, arXiv:1409.1555v2 (2015); Physical Review X 5, 031003
只作前沿分支阅读：二维不可压缩活性向列流、涡旋统计与拓扑缺陷。它需要取向场和流体方程，归入 FR22；这里的一维标量皮层模型没有复现这些结果。