重算图灵论文里的两细胞例子

第 42 页先列出了什么

两格面积相同，第一格浓度记为 $X_1,Y_1$ ，第二格为 $X_2,Y_2$ 。每格局部反应采用 $5X-6Y+1$ 和 $6X-7Y+1$ ；两种物质的格间交换率分别为 $0.5$ 和 $4.5$ 。这是原文的抽象模型，浓度和时间使用它自己的标度。

先检查四个浓度都为一：局部反应为零，格间没有浓度差，确实是均匀平衡。接着把每一种物质的交换写成“对面减本格”，就得到下面的四条方程。

\begin{aligned}\dot X_1&=5X_1-6Y_1+1+0.5(X_2-X_1),\\\dot Y_1&=6X_1-7Y_1+1+4.5(Y_2-Y_1),\\\dot X_2&=5X_2-6Y_2+1+0.5(X_1-X_2),\\\dot Y_2&=6X_2-7Y_2+1+4.5(Y_1-Y_2).\end{aligned}

每对交换项相加为零，交换保存每种物质在两格中的总量；局部反应仍可改变总量。

阅读来源：A. M. Turing

第 43 页的增长来自两格之间的差

两格一起增加同样的浓度时，没有交换流；增长由局部反应矩阵决定。让两格出现大小相同、符号相反的扰动，交换项则等于各自扰动乘负的两倍交换率。

两种子空间的矩阵分别为 $J_0$ 与 $J_-$ 。局部矩阵的两个特征值都是 $-1$ ，均匀反应渐近稳定。反对称矩阵却有特征值 $2$ 与 $-14$ ；对应增长特征向量的浓度比例是 $(3,1)$ 。

把第一格偏移设为 $(3C,C)$ 、第二格设为 $(-3C,-C)$ ，便得到 $\dot C=2C$ 。原文选的初始 $C=0.02$ 恰好沿这条纯增长方向。

J_0=\begin{pmatrix}5&-6\\6&-7\end{pmatrix},\qquad J_-=\begin{pmatrix}4&-6\\6&-16\end{pmatrix}

反对称交换从两个对角项分别减去一和九。小扰动分解让四变量问题化成两个二变量问题。

C(t)=0.02e^{2t},\qquad (X_1,Y_1,X_2,Y_2)=(1+3C,1+C,1-3C,1-C)

在所有浓度仍为正的区间，这条解析解直接满足完整四变量方程。

阅读来源：A. M. Turing

逐列读一份新的计算记录

下载的 JSON 与 CSV 是本课程生成的模拟记录，包含 101 个时刻。第一列是时间，随后四列是两格浓度。计算从原文初值出发，直接积分完整四变量方程；另一路用完整矩阵指数独立计算，最后才与上面的降维解析式比较。

下表摘出三个时刻，保留六位小数，方便逐列核查。误差检查看未舍入的值。表中没有观测误差棒，因为这些数是确定性方程的数值解；误差来自积分、矩阵计算和浮点运算。

本课程重算的早期轨迹，数值为无量纲浓度。原论文没有这张表，也没有提供这些时间采样的实验数据。
$t$	$X_1$	$Y_1$	$X_2$	$Y_2$
$0$	$1.060000$	$1.020000$	$0.940000$	$0.980000$
$0.25$	$1.098923$	$1.032974$	$0.901077$	$0.967026$
$0.5$	$1.163097$	$1.054366$	$0.836903$	$0.945634$

为什么记录只走到半个时间单位

原文为浓度触零后的反应另设处理。这里复算的是仍全部为正的线性阶段，记录止于 $t=0.5$ 。若把指数式继续外推， $X_2$ 会在 $t=\tfrac12\log(1/0.06)\approx1.41$ 触零，之后原来的线性式便不能继续当作同一个非负浓度模型。

这次复算的对象是一个已发表的数学例子，来源位置、方程、初值和时间窗都已固定。没有复制论文图像、细胞照片或实验数据，也没有把后来的螺旋波、生长方域和单密度皮层称为图灵原模型。

源论文在这里链接阅读，没有作为下载附件再分发；新表与记录由课程代码生成。引用时应分别注明原文两细胞例子与本次数值计算。

阅读来源：A. M. Turing

下一篇论文也可以这样读

先找到变量、单位、几何和边界，再确认原文研究的是均匀稳定性、早期增长还是饱和图案。记录方程与参数属于哪个版本，确认图的纵轴到底是浓度、振幅、功率还是增长率。

随后选一个能独立核算的极限或数值，保存未加工记录与处理脚本。最后把已发表结论、本次数值证据和仍待回答的问题分开写。研究皮层取向缺陷和活性湍流时，还需要新的取向场与流体方程，课程来源中的 Giomi 论文提供了另一条阅读分支。

阅读来源：L. Giomi · M. Nishikawa

完整例题

只算初始导数，已经能看到差别放大

第一格初值为 $(1.06,1.02)$ 。反应对第一种物质贡献 $0.18$ ，交换贡献 $-0.06$ ，合计 $0.12$ ；第二种反应贡献 $0.22$ ，交换贡献 $-0.18$ ，合计 $0.04$ 。

第二格两项导数恰好相反。第一格原本偏浓，合计后继续增浓；第二格原本偏淡，继续变淡。解析式给出 $\dot C(0)=0.04$ ，乘上比例 $(3,1,-3,-1)$ 也得到同样四个导数。这个独立代数检查能发现交换率漏乘二或符号反了。

下载本课程计算记录

JSON · CSV

把推理带进实验

把两细胞的推理迁移到二维模式

先用本章的完整四变量方程重算初始导数。
到图案实验选择一个离散空间模式，比较反应矩阵与加入输运后的矩阵。
说明两种模型共享哪一步稳定性推理，以及反应、几何与饱和机制有哪些不同。

练习与解释性答案

若原文两格出现完全相同的小扰动，交换项怎样变化？
展开解释
交换项始终为零，演化由局部矩阵控制。它的特征值实部为负，所以均匀扰动渐近衰减；空间失稳来自反对称方向。
初始 $C$ 减半，增长率是否也减半？
展开解释
增长率仍为 $2$ ，只改变初始振幅。达到同一小振幅的时间推迟 $\log2/2$ 。这个结论适用于上述线性正浓度阶段。
一条数值轨迹与解析式重合，是否已经复现原文全部形态发生理论？
展开解释
没有。本次只复算第 4 节两个相同区域的早期线性增长。原文还讨论环状多细胞、不同失稳类型和更复杂的反应；这些需要各自的参数、记录和验证。

课程来源与计算范围

推导、示意图与数值例由本课程编写。下面分别注明采用的方程、教学扩展和实际重算的已发表例子。交互场与带噪观测均来自所列模型。

A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis (1952), Philosophical Transactions B 237, 37–72
核读第 4 节第 42–43 页的两细胞数值例与第 6 节的模态分析。本课程复算第 4 节早期线性增长；没有复现原文图，也没有把 Schnakenberg 实验称为原文模型。
J. Schnakenberg, Simple Chemical Reaction Systems with Limit Cycle Behaviour (1979), Journal of Theoretical Biology 81, 389–400
原始反应模型的文献入口。这里明确写出采用的无量纲、不可逆教学形式，稳态、Jacobian 与数值参数均在课程中重新推导；没有声称使用生物标定参数。
D. Barkley, A Model for Fast Computer Simulation of Waves in Excitable Media (1991), Physica D 49, 61–70
核读第 2 节的两变量方程与文末模型适用性说明。本实验使用所列连续方程及自己的离散求解器，初态和预设由本课程设计，没有复现原文图像或转动频率。
E. J. Crampin, E. A. Gaffney and P. K. Maini, Reaction and Diffusion on Growing Domains (1999), Bulletin of Mathematical Biology 61, 1093–1120
核读第 3 节方程 9–20 的守恒、输运与域增长推导。原文主要讨论一维生长；本课程另推导二维均匀膨胀方域的稀释项，作为教学扩展，不复现原文倍频图。
M. Nishikawa, S. R. Naganathan, F. Jülicher and S. W. Grill, Controlling Contractile Instabilities in the Actomyosin Cortex (2017), eLife 6, e19595
核读 Appendix 方程 4–9 的密度通量、活性黏性应力、饱和函数与力平衡。这里把原文两组分调控简化成单密度与线性周转，另加局部应力抑制；没有拟合真实胚胎数据或复现原文图 2。原论文采用 CC BY 许可。
A. L. Krause, M. A. Ellis and R. A. Van Gorder, Influence of Curvature, Growth, and Anisotropy on the Evolution of Turing Patterns on Growing Manifolds (online 2018; issue 2019)
核读方程 4–6 的移动域守恒、14–15 的材料坐标及 44–45 的 Schnakenberg 反应与 Jacobian。这里的周期方域和参数是教学选择，没有复现原文椭圆几何或图 1–4。
L. Giomi, Geometry and Topology of Turbulence in Active Nematics, arXiv:1409.1555v2 (2015); Physical Review X 5, 031003
只作前沿分支阅读：二维不可压缩活性向列流、涡旋统计与拓扑缺陷。它需要取向场和流体方程，归入 FR22；这里的一维标量皮层模型没有复现这些结果。